Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

A figura mostra a planta de uma escola que tem seis salas, indicadas pelas letras de A até F. Joãozinho entrou na escola, percorreu todas as salas e foi embora, tendo passado exatamente duas vezes por uma das portas e uma única vez por cada uma das outras. A porta pela qual Joãozinho passou duas vezes liga:

Planta baixa esquemática de uma escola dividida em seis salas identificadas pelas letras de A a F, com portas representadas por aberturas entre as paredes com pontos pretos nas extremidades

A
as salas A e B.
B
as salas C e E.
C
as salas E e F.
D
a sala D e o lado de fora da escola.
E
a sala F e o lado de fora da escola.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

A figura mostra a planta de uma escola que tem seis salas, indicadas pelas letras de A até F. Joãozinho entrou na escola, percorreu todas as salas e foi embora, tendo passado exatamente duas vezes por uma das portas e uma única vez por cada uma das outras. A porta pela qual Joãozinho passou duas vezes liga:

Planta baixa esquemática de uma escola dividida em seis salas identificadas pelas letras de A a F, com portas representadas por aberturas entre as paredes com pontos pretos nas extremidades

A
as salas A e B.
B
as salas C e E.
C
as salas E e F.
D
a sala D e o lado de fora da escola.
E
a sala F e o lado de fora da escola.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Na figura marcamos, ao lado das letras que identificam as salas, o número de portas de cada uma.

[Figura: Esquema da planta da casa com as salas identificadas por letras e quantidade de portas: A(4), B(4), C(5), D(4), E(3) e F(4), com os segmentos de parede e as aberturas das portas indicados.]

Vamos supor que a porta pela qual o Joãozinho passou duas vezes pertence a uma sala com 4 portas. Então ele passou uma única vez pelas 3 portas restantes, ou seja, ele passou 5 vezes pelas portas desta sala. Logo ele entrou, saiu, entrou, saiu e entrou na sala, ou seja, ficou dentro dela. Esta conclusão é contrária ao enunciado, que diz que ele foi embora. Logo o Joãozinho passou uma única vez por todas as portas das salas com 4 portas. Assim, a porta pela qual ele passou duas vezes é aquela que não pertence a nenhuma sala com 4 portas, ou seja, é a porta que liga as salas C e E.

Coloca-se, é claro, a questão da existência de um trajeto que satisfaça as condições do enunciado. Para isto, providenciamos a figura ao lado; nela, as bolinhas marcam o início e o término do trajeto.

[Figura: Planta da casa com uma linha tracejada cinza representando um trajeto contínuo que passa por todas as portas e duas vezes pela porta entre C e E, com início e fim indicados por pontos pretos no exterior da casa.]

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Resolução comentada

Cada sala (e o lado de fora, O) é um vértice, e cada porta é uma aresta. Passar por todas as portas ao menos uma vez, entrando e saindo, é um percurso que só existe se houver no máximo dois vértices de grau ímpar.

Contando as portas na planta:

O–A: 2 portas (topo e lado esquerdo).
O–B: 2 portas (topo).
O–C: 2 portas (lado direito).
O–D: 1 porta.
O–F: 1 porta (embaixo).
A–B, A–D, B–C, C–E, D–E, D–F, E–F e C–F: 1 porta cada.

Graus:

A: 4
B: 4
D: 4
F: 4
C: 5 (2 para fora, B, E, F)
E: 3 (C, D, F)
O: 8

Só C e E têm grau ímpar. Para o percurso existir, a porta repetida deve ligar exatamente essas duas salas. Repetir a porta C–E torna os dois graus pares. Assim, Joãozinho passou duas vezes pela porta que liga C e E.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ARepetir A–B deixaria C e E com grau ímpar e tornaria A e B ímpares; o percurso não fecha.
CRepetir E–F deixaria E com grau par, mas F ficaria ímpar e C continuaria ímpar.
DRepetir a porta de D com o exterior deixaria D e O ímpares, além de C e E.
ERepetir a porta de F com o exterior deixaria F e O ímpares, além de C e E.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 18 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗