Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Felipe construiu uma sequência de figuras com quadradinhos; abaixo mostramos as quatro primeiras figuras que ele construiu. Qual é a primeira figura que tem mais de 2009 quadradinhos?

As duas primeiras figuras da sequência: a 1ª figura tem 1 quadradinho branco; a 2ª figura tem 5 quadradinhos, sendo 1 quadradinho branco central cercado nos quatro lados por 4 quadradinhos cinzas. A 3ª e a 4ª figuras da sequência: a 3ª figura tem 13 quadradinhos, formada pela 2ª figura cercada por mais 8 quadradinhos brancos; a 4ª figura tem 25 quadradinhos, formada pela 3ª figura cercada por mais 12 quadradinhos cinzas.

A
A 30^a
B
A 31^a
C
A 32^a
D
A 33^a
E
A 34^a

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Felipe construiu uma sequência de figuras com quadradinhos; abaixo mostramos as quatro primeiras figuras que ele construiu. Qual é a primeira figura que tem mais de 2009 quadradinhos?

As duas primeiras figuras da sequência: a 1ª figura tem 1 quadradinho branco; a 2ª figura tem 5 quadradinhos, sendo 1 quadradinho branco central cercado nos quatro lados por 4 quadradinhos cinzas. A 3ª e a 4ª figuras da sequência: a 3ª figura tem 13 quadradinhos, formada pela 2ª figura cercada por mais 8 quadradinhos brancos; a 4ª figura tem 25 quadradinhos, formada pela 3ª figura cercada por mais 12 quadradinhos cinzas.

A
A 30^a
B
A 31^a
C
A 32^a
D
A 33^a
E
A 34^a

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos contar quantos quadradinhos brancos e sombreados aparecem em cada figura.

figura	brancos	sombreados	total
1^a	1 = 1^2	0 = 0^2	1^2 + 0^2
2^a	1 = 1^2	4 = 2^2	2^2 + 1^2
3^a	9 = 3^2	4 = 2^2	3^2 + 2^2
4^a	9 = 3^2	16 = 4^2	4^2 + 3^2

[Figura: Quatro ilustrações com quadradinhos brancos e sombreados identificadas como 1ª (1 quadradinho branco), 2ª (5 quadradinhos, com centro branco cercado por 4 sombreados), 3ª (13 quadradinhos, com quadrado central de 9 brancos cercado por 4 sombreados) e 4ª (25 quadradinhos, com quadrado de 9 brancos cercado por 16 sombreados).]

Em geral, vemos que a n-ésima figura terá n^2 + (n - 1)^2 quadradinhos. Nosso problema se resume então a achar o menor inteiro positivo n tal que n^2 + (n - 1)^2 \geq 2009. Podemos fazer isto analisando o sinal do polinômio n^2 + (n - 1)^2 - 2009 = 2n^2 - 2n - 2008, mas é mais rápido proceder por aproximações, como segue.

Como n^2 > (n - 1)^2 para n \geq 1, devemos ter 2n^2 > 2009, ou seja, n^2 > 1005; segue que n > 31. Como 32^2 + 31^2 = 1985, o valor n = 32 está descartado; por outro lado, para n = 33 temos 33^2 + 32^2 = 2113.

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Resolução comentada

Observe quantos quadradinhos são acrescentados a cada nova figura: da 1ª para a 2ª, 4; da 2ª para a 3ª, 8; da 3ª para a 4ª, 12. A cada passo o acréscimo aumenta 4, ou seja, para ir da figura n-1 à figura n acrescentam-se 4(n-1) quadradinhos.

Assim, a figura n tem:

1 + 4\cdot1 + 4\cdot2 + \dots + 4(n-1) = 1 + 4\,(1+2+\dots+(n-1)).

Como 1+2+\dots+(n-1)=\dfrac{(n-1)n}{2}, o total é:

T_n = 1 + 2n(n-1) = 2n^2 - 2n + 1.

Conferindo: n=2 dá 8-4+1=5; n=3 dá 18-6+1=13; n=4 dá 32-8+1=25. Está certo.

Agora queremos T_n > 2009, isto é, 2n(n-1) > 2008, ou n(n-1) > 1004.

Para n=32: 32\cdot31 = 992, que não passa de 1004.
Para n=33: 33\cdot32 = 1056, que é maior que 1004.

Portanto, T_{32}=1985 (não passa de 2009) e T_{33}=2113 (passa). A primeira figura com mais de 2009 quadradinhos é a 33ª.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana porque 1985 fica perto de 2009; quem erra a conta por pouco ou não verifica o valor da 33ª figura para nesse ponto.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACom n=30 há 2\cdot30\cdot29+1=1741 quadradinhos, muito abaixo de 2009.
BCom n=31 há 2\cdot31\cdot30+1=1861 quadradinhos, ainda menos que 2009.
CCom n=32 há 1985 quadradinhos, que ainda não ultrapassa 2009.
EA 34ª tem mais de 2009, mas não é a primeira, pois a 33ª já passa.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗