Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Os seis triângulos da figura são retângulos e seus ângulos com vértice no ponto A são iguais. Além disso, AB = 24\text{ cm} e AC = 54\text{ cm}. Qual é o comprimento de AD?

Seis triângulos retângulos adjacentes compartilhando o vértice comum A, dispostos em leque. O segmento AB mede 24 cm e o segmento AC mede 54 cm. O segmento AD em destaque divide os seis triângulos em dois grupos de três triângulos. Cada triângulo tem o ângulo reto oposto ao vértice A.

A
30\text{ cm}
B
34\text{ cm}
C
36\text{ cm}
D
38\text{ cm}
E
39\text{ cm}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Os seis triângulos da figura são retângulos e seus ângulos com vértice no ponto A são iguais. Além disso, AB = 24\text{ cm} e AC = 54\text{ cm}. Qual é o comprimento de AD?

Seis triângulos retângulos adjacentes compartilhando o vértice comum A, dispostos em leque. O segmento AB mede 24 cm e o segmento AC mede 54 cm. O segmento AD em destaque divide os seis triângulos em dois grupos de três triângulos. Cada triângulo tem o ângulo reto oposto ao vértice A.

A
30\text{ cm}
B
34\text{ cm}
C
36\text{ cm}
D
38\text{ cm}
E
39\text{ cm}

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Solução oficial da OBMEP

Vamos denotar as hipotenusas dos triângulos retângulos que aparecem na figura por a, b, x, d e c, como na figura; nosso objetivo é achar x = AD.

[Figura: seis triângulos retângulos adjacentes com vértice comum A e ângulos em A congruentes. Da direita para a esquerda, o primeiro triângulo tem cateto adjacente AB = 24\text{ cm} e hipotenusa a, que é o cateto adjacente do segundo triângulo de hipotenusa b, seguida pelas hipotenusas x = AD, d, c e AC = 54\text{ cm}.]

Os seis triângulos retângulos são semelhantes, pois têm em comum o ângulo de vértice A. Logo

\frac{24}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{x} = \frac{x}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{54}

Multiplicando os três primeiros termos acima e, separadamente, os três últimos, obtemos \frac{24}{x} = \frac{x}{54}. Logo x^2 = 24 \times 54 = 2^3 \times 3 \times 2 \times 3^3 = 2^4 \times 3^4 = 4^2 \times 9^2 = 36^2, donde x = 36\text{ cm}.

Alternativamente, seja \lambda = \frac{24}{a}. Multiplicando os seis termos da sequência de igualdades acima, obtemos \lambda^6 = \frac{24}{54} = \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2, donde \lambda^3 = \frac{2}{3}. Por outro lado, \lambda^3 = \frac{24}{a} \times \frac{a}{b} \times \frac{b}{x} = \frac{24}{x} e obtemos \frac{24}{x} = \frac{2}{3}, donde x = 36\text{ cm}.

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Resolução comentada

Os seis triângulos são retângulos e têm o mesmo ângulo \theta em A. Cada triângulo tem um cateto sobre um segmento que sai de A e a hipotenusa sobre o segmento seguinte. Assim, cada segmento que sai de A é a hipotenusa de um triângulo e o cateto adjacente ao ângulo \theta do triângulo seguinte.

Se r_0 = AB = 24 e r_1, r_2, \dots, r_6 são os segmentos seguintes, com r_6 = AC = 54, então \cos\theta = \dfrac{r_{k-1}}{r_k}. Logo r_k = r_{k-1}/\cos\theta, ou seja, os comprimentos formam uma progressão geométrica de razão q = \dfrac{1}{\cos\theta}.

r_6 = 24\,q^6 = 54, então q^6 = \dfrac{54}{24} = \dfrac{9}{4}.
Daí q^3 = \dfrac{3}{2}, já que q>0.
AD é o terceiro segmento a partir de AB, então AD = r_3 = 24\,q^3 = 24\cdot\dfrac{3}{2} = 36.

Conferindo: AD é a média geométrica de AB e AC, pois \sqrt{24\cdot 54}=\sqrt{1296}=36.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E (39) engana quem usa a média aritmética de 24 e 54 em vez da média geométrica.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem justificativa, próximo da média aritmética errada; não respeita a progressão geométrica.
BNão corresponde a 24q^3; resulta de uma conta incorreta da razão.
DNão é a média geométrica de 24 e 54; valor sem base na progressão.
EAproxima da média aritmética, (24+54)/2 = 39, trocando a média geométrica pela aritmética.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Progressão geométrica.

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Questão 14 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗