Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Luciana tem três canetas pretas e três vermelhas. Ontem ela pegou, ao acaso, uma dessas canetas e colocou-a na bolsa. Hoje ela colocou uma caneta preta na bolsa. Se ela retirar uma dessas duas canetas da bolsa, sem olhar, qual a probabilidade de essa caneta ser preta?

A
\dfrac{1}{2}
B
\dfrac{2}{3}
C
\dfrac{3}{5}
D
\dfrac{3}{4}
E
\dfrac{4}{7}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Luciana tem três canetas pretas e três vermelhas. Ontem ela pegou, ao acaso, uma dessas canetas e colocou-a na bolsa. Hoje ela colocou uma caneta preta na bolsa. Se ela retirar uma dessas duas canetas da bolsa, sem olhar, qual a probabilidade de essa caneta ser preta?

A
\dfrac{1}{2}
B
\dfrac{2}{3}
C
\dfrac{3}{5}
D
\dfrac{3}{4}
E
\dfrac{4}{7}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos denotar por P e V canetas pretas e vermelhas, respectivamente. Como o número de P e V que Juliana tem são iguais, as probabilidades de ela escolher uma P ou uma V ao acaso são ambas iguais a \frac{1}{2}. Podemos então fazer a seguinte tabela:

caneta colocada na bolsa ao acaso	probabilidade	canetas na bolsa no dia seguinte	probabilidade de tirar uma P
P	\frac{1}{2}	P, P	1
V	\frac{1}{2}	V, P	\frac{1}{2}

Como os eventos (P,P) e (P,V) são disjuntos, a probabilidade de Juliana tirar uma caneta preta da bolsa é

\frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

Hoje Luciana colocou uma caneta preta na bolsa, então só a caneta de ontem é desconhecida. Ela pode ter sido preta ou vermelha, e as duas hipóteses têm probabilidades diferentes.

Ontem ela pegou ao acaso uma das 6 canetas (3 pretas e 3 vermelhas), então:

P(\text{preta}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}
P(\text{vermelha}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}

Se a caneta de ontem foi preta, a bolsa tem 2 pretas e 0 vermelhas. Retirar uma preta tem probabilidade 1.
Se a caneta de ontem foi vermelha, a bolsa tem 1 preta e 1 vermelha. Retirar uma preta tem probabilidade \dfrac{1}{2}.
Pela probabilidade total, somamos os dois casos, cada um multiplicado pela chance de ocorrer:

P=\dfrac{1}{2}\cdot 1+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIgnora que a bolsa tem ao menos uma caneta preta garantida e considera apenas a chance de a caneta de ontem ser preta.
BNão corresponde a nenhuma ponderação correta dos dois casos; é um valor sem justificativa.
CUsa 3 pretas em 5 canetas, como se a bolsa tivesse mais canetas do que as duas que ela tem.
EMistura as 7 canetas totais, contando a caneta preta de hoje como se fosse uma a mais entre as 6 originais.

Assunto: Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Questão 15 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗