Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Na figura, as duas circunferências têm centro O e os quadradinhos do quadriculado têm lado 1\text{ cm}. Há 20 pontos do quadriculado na região delimitada pelas circunferências. Quantos pontos do quadriculado estão na região delimitada por duas circunferências de centro O e raios 4\text{ cm} e 5\text{ cm}?

Duas circunferências concêntricas de centro O sobre uma malha quadriculada, com a região entre elas sombreada de cinza destacando 20 pontos nas interseções da malha

A
32
B
34
C
36
D
38
E
40

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura, as duas circunferências têm centro O e os quadradinhos do quadriculado têm lado 1\text{ cm}. Há 20 pontos do quadriculado na região delimitada pelas circunferências. Quantos pontos do quadriculado estão na região delimitada por duas circunferências de centro O e raios 4\text{ cm} e 5\text{ cm}?

Duas circunferências concêntricas de centro O sobre uma malha quadriculada, com a região entre elas sombreada de cinza destacando 20 pontos nas interseções da malha

A
32
B
34
C
36
D
38
E
40

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Coloquemos a origem de coordenadas no ponto O. O teorema de Pitágoras mostra que a distância de um ponto (x,y) à origem de coordenadas é \sqrt{x^2+y^2}; logo, para que (x,y) esteja na região delimitada pelas circunferências de raios 4 e 5, devemos ter 16 = 4^2 \le x^2+y^2 \le 5^2 = 25. Observamos também que se (x,y) está nesta região, o mesmo se pode dizer todos os pontos da forma (\pm x, \pm y) e (\pm y, \pm x). Assim, podemos restringir nossa análise a pontos (x,y) com x,y \ge 0 e x \le y.

[Figura: No plano cartesiano com eixos horizontal e vertical e origem O, um segmento liga a origem a um ponto com coordenadas indicadas por linhas tracejadas em x e y, rotulado com (x,y). Sobre o segmento está indicada a distância \sqrt{x^2+y^2}.]

Como 16 \le x^2+y^2 \le 25, devemos ter 0 \le x,y \le 5, e estamos interessados apenas em valores inteiros de x e y. Procedemos agora por listagem direta, e obtemos a tabela a seguir.

pontos (x,y) com x,y \ge 0, x \le y e 16 \le x^2+y^2 \le 25	pontos da forma (\pm x, \pm y) e (\pm y, \pm x)	número de pontos
(0,4)	(0,\pm 4) , (\pm 4,0)	4
(0,5)	(0,\pm 5) , (\pm 5,0)	4
(1,4)	(\pm 1,\pm 4) , (\pm 4,\pm 1)	8
(2,4)	(\pm 2 \pm 4) , (\pm 4,\pm 2)	8
(3,3)	(\pm 3,\pm 3)	4
(3,4)	(\pm 3,\pm 4) , (\pm 4,\pm 3)	8
Total		36

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Pelo enunciado e pela figura, o centro O é um ponto do quadriculado, e os pontos na região (incluindo as circunferências) são os que têm x^2+y^2 entre r_1^2 e r_2^2.

Primeiro, confira com a figura: raios 2 e 3, então 4\le x^2+y^2\le 9.

4: (\pm2,0),(0,\pm2) → 4 pontos
5: (\pm1,\pm2),(\pm2,\pm1) → 8 pontos
8: (\pm2,\pm2) → 4 pontos
9: (\pm3,0),(0,\pm3) → 4 pontos

Total: 20, o que confirma o método.

Agora, para raios 4 e 5, procuramos 16\le x^2+y^2\le 25:

16: (\pm4,0),(0,\pm4) → 4 pontos
17: (\pm1,\pm4),(\pm4,\pm1) → 8 pontos
18: (\pm3,\pm3) → 4 pontos
20: (\pm2,\pm4),(\pm4,\pm2) → 8 pontos
25: (\pm5,0),(0,\pm5) → 4 pontos e (\pm3,\pm4),(\pm4,\pm3) → 8 pontos, total 12

Os valores 19, 21, 22, 23, 24 não são soma de dois quadrados inteiros.

Total: 4+8+4+8+12=36.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece parte dos pontos, por exemplo os da circunferência de raio 5 como (\pm3,\pm4).
BPerde alguns pontos das circunferências, como os de x^2+y^2=20 ou 25.
DConta pontos a mais, tomando valores de x^2+y^2 que não são somas de quadrados.
EEstima por proporção ou conta em excesso, sem enumerar as somas de quadrados.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗