Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2009

Question

Na figura, ABCD é um paralelogramo e o segmento EF é paralelo a AB. Qual é a soma das áreas dos triângulos cinzentos?

Paralelogramo ABCD com base AB de 4 cm e altura de 4 cm. No interior, há um segmento horizontal EF de 2 cm paralelo a AB. Os vértices estão conectados formando os triângulos ADE e BCF sombreados em cinza.

A
2\text{ cm}^2
B
4\text{ cm}^2
C
6\text{ cm}^2
D
8\text{ cm}^2
E
10\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, ABCD é um paralelogramo e o segmento EF é paralelo a AB. Qual é a soma das áreas dos triângulos cinzentos?

Paralelogramo ABCD com base AB de 4 cm e altura de 4 cm. No interior, há um segmento horizontal EF de 2 cm paralelo a AB. Os vértices estão conectados formando os triângulos ADE e BCF sombreados em cinza.

A
2\text{ cm}^2
B
4\text{ cm}^2
C
6\text{ cm}^2
D
8\text{ cm}^2
E
10\text{ cm}^2

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Solução oficial da OBMEP

Para achar a soma das áreas dos triângulos, basta calcular a área do paralelogramo ABCD e subtrair as áreas dos trapézios ABFE e CDFE. Seja h a altura do trapézio ABFE; sua área é então \frac{AB+EF}{2}h = 3h\text{ cm}^2. Como a altura do paralelogramo ABCD é 4\text{ cm}, a altura do trapézio CDFE é 4-h e sua área é \frac{CD+EF}{2}(4-h) = 12-3h\text{ cm}^2. A área do paralelogramo ABCD é 16\text{ cm}^2; a soma das áreas dos triângulos é então 16 - (3h+12-3h) = 4\text{ cm}^2.

[Figura: Paralelogramo ABCD com segmento horizontal interno EF paralelo às bases AB e CD. A base inferior AB mede 4 e o segmento EF mede 2. Os triângulos ACE e BFD estão sombreados em cinza. À direita, linhas tracejadas verticais e horizontais indicam que a altura do trapézio inferior ABFE é h e a altura do trapézio superior CDFE é 4-h.]

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Ideia: o paralelogramo tem área 4\times 4=16\ \text{cm}^2. Os triângulos cinzentos são ADE e BCF, e os outros dois triângulos que sobram são ABE... vamos ver quais regiões compõem a figura.

O paralelogramo é dividido por AE, DE, EF, FC, FB e BE... Vamos usar outra via: a soma das áreas de triângulos com base em lados paralelos.

Triângulo DEC com base DC=4 e EF paralelo a DC: não é o cinza, mas ajuda. Os triângulos DEF... Seguimos com os triângulos brancos: DEC não aparece, então olhamos os triângulos de base EF.

Região branca: triângulo DEC (base DC=4, altura h_1 = distância de E a DC), triângulo ABF (base AB=4, altura h_2 = distância de F a AB) e o triângulo EFB/AEF junto.

Como EF\parallel AB e EF\parallel DC, a distância de EF a DC é h_1 e a de EF a AB é h_2, com h_1+h_2=4.

A região branca é formada por: triângulo DEF... na figura, a parte branca é o quadrilátero ABFE mais o triângulo DEC-lado, ou seja, ABFE (trapézio de bases 4 e 2, altura h_2) e DCFE (trapézio de bases 4 e 2, altura h_1).

Área branca: \frac{(4+2)h_2}{2}+\frac{(4+2)h_1}{2}=3(h_1+h_2)=3\cdot4=12\ \text{cm}^2.
Cinza: 16-12=4\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor pequeno demais, sem base no cálculo da área branca (12).
CNão corresponde a 16-12; erro ao calcular a área dos trapézios.
DCorresponde à metade do paralelogramo, o que não vale aqui.
EValor sem relação com a diferença entre 16 e a área dos trapézios.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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OBMEP 2009 · Questão 18 (Nível 2)Na figura, ABCD é um paralelogramo e o segmento EF é paralelo a AB . Qual é a soma das áreas dos triângulos sombreados?

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Questão 11 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗