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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2009

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra um quadrado de lado 1\ \text{m} dividido em dois retângulos e um quadrado. As áreas do quadrado Q e do retângulo R são iguais. Qual é a área do retângulo S?

Quadrado dividido em três regiões: um retângulo horizontal R na parte superior ocupando toda a largura; e, abaixo dele, um quadrado Q à esquerda e um retângulo vertical S à direita.

  1. A
    \sqrt{5} - 2\ \text{m}^2
  2. B
    \dfrac{1}{5}\ \text{m}^2
  3. C
    3 - \sqrt{5}\ \text{m}^2
  4. D
    \dfrac{1}{3}\ \text{m}^2
  5. E
    \dfrac{\sqrt{5}}{3}\ \text{m}^2
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Seja x o lado do quadrado Q. Como o quadrado grande tem lado 1, as medidas das outras regiões ficam assim:

  • R é um retângulo de largura 1 e altura 1-x (o que sobra acima de Q), com área 1\cdot(1-x)=1-x.
  • S tem altura x (a mesma de Q) e largura 1-x, com área x(1-x).

O enunciado diz que as áreas de Q e R são iguais:

  1. x^2 = 1-x
  2. x^2 + x - 1 = 0
  3. x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} (descartamos a raiz negativa, pois x é um comprimento).

A área de S é x(1-x). Como 1-x=x^2, temos:

A_S = x\cdot x^2 = x^3

Calculando x^2 = 1-x = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}, então:

x^3 = x\cdot x^2=\dfrac{(\sqrt5-1)(3-\sqrt5)}{4}=\dfrac{3\sqrt5-5-3+\sqrt5}{4}=\dfrac{4\sqrt5-8}{4}=\sqrt5-2

Conferindo numericamente: x\approx0{,}618 e x^3\approx0{,}236, que é igual a \sqrt5-2\approx0{,}236.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • B\frac{1}{5}=0{,}2 não corresponde a x^3\approx0{,}236; é um valor que parece plausível, mas não sai da equação.
  • C3-\sqrt5\approx0{,}76 é o dobro de x^2 (que é a área de Q e de R), e não a área de S.
  • D\frac{1}{3} seria o valor se as três áreas fossem iguais, o que não ocorre aqui.
  • E\frac{\sqrt5}{3}\approx0{,}75 é grande demais, maior que a área de Q e de R (cerca de 0{,}38); não resulta de nenhuma etapa da conta.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equação do 2º grau.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2009

Fonte: OBMEP 2009 · Nível 3. Prova oficial ↗