Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Esta é a questão da OBMEP com a tira de 12 cm por 48 cm dobrada duas vezes. Vamos acompanhar o perímetro, lembrando que dobrar não muda o comprimento do contorno de cada parte, só o reposiciona.

A tira tem 48 cm de comprimento e 12 cm de largura. Na primeira etapa, a parte da direita, de 24 cm, é dobrada sobre a outra, de modo que a figura passa a ter 24 cm de comprimento horizontal. A dobra forma um ângulo de 45^\circ e o trecho dobrado, em cinza, fica na vertical (ângulo reto marcado na figura).

Considere a tira como um retângulo com dois lados de 48 cm e dois de 12 cm. O perímetro original é 2\cdot 48+2\cdot 12=120 cm.

Cada dobra a 45^\circ corta um triângulo retângulo isósceles de catetos 12 cm. Esse triângulo tem hipotenusa 12\sqrt{2} e fica sobreposto à tira. A linha de dobra, de comprimento 12\sqrt{2}, passa a fazer parte do contorno, enquanto dois catetos de 12 cm deixam de fazer parte do contorno (um é coberto e outro fica escondido). Cada dobra altera o perímetro em 12\sqrt{2}-24.

Com duas dobras: 120+2(12\sqrt{2}-24)=72+24\sqrt{2} cm.

Conferindo com o polígono de 8 lados: os lados são dois horizontais de 12, dois verticais maiores, dois verticais menores e dois oblíquos de 12\sqrt{2}. Os oblíquos somam 24\sqrt{2} e o restante soma 72, o que confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AIgnora as partes oblíquas e dá um valor inteiro sem o termo com \sqrt{2}.
• BValor muito pequeno, que não corresponde ao contorno de um polígono com lados de 12 e 48 cm.
• CUsa só parte dos lados retos e apenas um segmento oblíquo.
• DConta os lados oblíquos como 18\sqrt{2}, em vez de dois segmentos de 12\sqrt{2}.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Áreas e perímetros de polígonos.

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