Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2008

Resolução comentada

O número de voltas completas é a parte inteira de x/L, em que L é o comprimento da pista: m=\lfloor x/L\rfloor. Isso dá uma função em escada.

1. Para 0\le x<L, ela ainda não completou nenhuma volta, então m=0.
2. Para L\le x<2L, m=1.
3. Para 2L\le x<3L, m=2, e assim por diante.

Cada degrau tem o mesmo comprimento L, com extremidade esquerda fechada (no instante em que completa a volta, m já aumenta) e extremidade direita aberta.

O primeiro degrau, em m=0, também vai de 0 até L, e tem o mesmo comprimento dos demais. Isso exclui o gráfico (E), em que o primeiro degrau é mais curto.

O gráfico (A) e o (C) têm trechos inclinados, como se m variasse de forma contínua. Isso conta voltas parciais, e a questão pede só voltas completas. O gráfico (D) também é contínuo, com trechos inclinados, e não representa a contagem de voltas completas.

Só o gráfico (B) tem degraus horizontais iguais, começando em m=0 com o mesmo comprimento dos outros.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana porque o primeiro degrau, em m = 0, parece curto, mas ele deve valer L como os outros; a A e a C enganam quem conta voltas parciais.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AReta contínua conta voltas parciais (fração de volta), não voltas completas.
• CSegmentos inclinados indicam que m cresce continuamente dentro de cada volta, e não em saltos.
• DPoligonal contínua com trechos inclinados e horizontais não é a contagem de voltas completas, que muda em saltos.
• EO primeiro degrau (m = 0) é mais curto que os demais, mas ele deveria ter comprimento L, igual aos outros.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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