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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Os quadradinhos do tabuleiro da figura devem ser preenchidos de modo que:

  • nos quadradinhos de cada uma das regiões em forma de peça em formato de T apareçam os números 1, 3, 5 e 7 ou os números 2, 4, 6 e 8;
  • em quadradinhos com um lado comum não apareçam números consecutivos.

Qual é a soma dos números que vão aparecer nos quadradinhos cinza?

Tabuleiro 4x4 com algumas casas numeradas e quatro regiões em formato de T delimitadas por linhas pretas grossas. Na primeira linha, a primeira casa tem 1 e a quarta tem 4; na segunda linha, a primeira casa tem 3; na quarta linha, a primeira casa tem 4 e a quarta tem 3. Quatro casas estão sombreadas em cinza: na terceira linha, colunas 3 e 4; na quarta linha, colunas 2 e 3.

  1. A
    12
  2. B
    14
  3. C
    16
  4. D
    18
  5. E
    20
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Resolução comentada

Resolução comentada

Pelas linhas grossas, as quatro regiões em T são:

  • A: (1,1),(2,1),(3,1),(2,2), que contém 1 e 3, logo usa \{1,3,5,7\}.
  • B: (1,2),(1,3),(1,4),(2,3), que contém 4, logo usa \{2,4,6,8\}.
  • C: (2,4),(3,4),(4,4),(3,3), que contém 3, logo usa os ímpares.
  • D: (3,2),(4,1),(4,2),(4,3), que contém 4, logo usa os pares.

Preenchimento, lembrando que casas vizinhas não podem ter números consecutivos:

  1. Região A: faltam 5 e 7 para (3,1) e (2,2). A casa (3,1) é vizinha de (4,1)=4, então não pode ser 5. Logo (3,1)=7 e (2,2)=5.
  2. Região B: o 4 já está em (1,4). A casa (1,2) é vizinha de 1 (não pode ser 2) e de (2,2)=5 (não pode ser 6). Então (1,2)=8. Sobram 2 e 6 para (1,3) e (2,3). Como (2,3) é vizinha de 5, não é 6. Logo (2,3)=2 e (1,3)=6.
  3. Região C: faltam 1, 5 e 7 para (2,4), (3,4) e (3,3). A casa (2,4) é vizinha de 4 (não pode ser 5) e de 2 (não pode ser 1). Então (2,4)=7. A casa (3,3) é vizinha de (2,3)=2, então não pode ser 1. Logo (3,3)=5 e (3,4)=1.
  4. Região D: faltam 2, 6 e 8. A casa (3,2) é vizinha de (3,1)=7, então não pode ser 6 nem 8. Logo (3,2)=2. A casa (4,3) é vizinha de (3,3)=5, então não é 6. Logo (4,3)=8 e (4,2)=6.

Casas cinza: 5+1+6+8=20.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma muito baixa, não corresponde ao preenchimento obrigatório das casas cinza (5, 1, 6 e 8).
  • BResulta de trocar números nas regiões, desrespeitando a regra de não haver consecutivos em lados comuns.
  • CResulta de colocar 6 e 8 ou 5 e 1 em posições proibidas, quebrando a regra dos consecutivos.
  • DTambém vem de um preenchimento que viola alguma vizinhança; o único válido dá 20.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗