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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Com quadradinhos de lado 1 cm, constrói-se uma seqüência de retângulos acrescentando-se, a cada etapa, uma linha e duas colunas ao retângulo anterior. A figura mostra os três primeiros retângulos dessa seqüência. Qual é o perímetro do 100o retângulo dessa seqüência?

Três primeiros retângulos da sequência: o 1º é formado por 1 quadradinho (1x1), o 2º por 6 quadradinhos (2 linhas por 3 colunas) e o 3º por 15 quadradinhos (3 linhas por 5 colunas).

  1. A
    402 cm
  2. B
    472 cm
  3. C
    512 cm
  4. D
    598 cm
  5. E
    634 cm
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Resolução comentada

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Cada retângulo tem um número de linhas e de colunas que segue uma regra. Pela figura, o 1º tem 1 linha e 1 coluna, o 2º tem 2 linhas e 3 colunas, o 3º tem 3 linhas e 5 colunas.

A cada etapa entram 1 linha e 2 colunas, então no n-ésimo retângulo:

  1. Linhas: n (começa em 1 e aumenta 1 por etapa).
  2. Colunas: 1 + 2(n-1) = 2n-1.

Conferindo com o 3º: n=3 dá 3 linhas e 2\cdot 3-1=5 colunas. Está certo.

Para n = 100:

  • linhas: 100
  • colunas: 2\cdot 100 - 1 = 199

Como os quadradinhos têm lado 1 cm, o retângulo mede 100 cm por 199 cm. O perímetro é a soma dos quatro lados:

P = 2\,(100 + 199) = 2\cdot 299 = 598\ \text{cm}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 100 linhas e 100 colunas (ou parecido), ignorando que são acrescentadas duas colunas por etapa.
  • BValor sem relação com as dimensões 100 e 199; resulta de erro na lei de formação das colunas.
  • CTambém não corresponde a 2(100+199); vem de contar colunas de forma errada.
  • EUsa 200 colunas (2n) em vez de 2n−1 e erra a soma, passando de 598.

Assuntos: Sequências e padrões, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗