Questão 15 (Nível 3) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Chame água de A e suco de S. Vamos testar cada possibilidade de quem pede sempre a mesma bebida.

As regras, em forma de implicação:

1. Ari = Carlos \Rightarrow Bruna = água.
2. Ari ≠ Bruna \Rightarrow Carlos = suco.
3. Bruna ≠ Carlos \Rightarrow Ari = água.

Testando Ari sempre água. Se Ari = A e Bruna = S, a regra 2 dá Carlos = S. Então Bruna = Carlos, e a regra 3 não se aplica. A regra 1 também não, pois Ari ≠ Carlos. Logo (A, S, S) é permitido. Se Ari = A e Bruna = A, a regra 2 não se aplica. Carlos = A viola a regra 1? Não, pois Bruna = A. Então (A, A, A) é permitido. Mas isso faria todos pedirem sempre a mesma coisa em alguns dias, e só Ari é fixo: (A, A, S) também vale. Assim, nos dias possíveis, Bruna e Carlos variam, e Ari fica sempre em água. Isso é consistente.

Testando Ari = suco em algum dia. Pela regra 3, se Ari = S, então Bruna = Carlos. Pela regra 1, se Carlos = S, então Bruna = A, mas Bruna = Carlos, contradição. Logo Carlos = A e Bruna = A: (S, A, A). Nesse dia Ari ≠ Carlos, e a regra 2 não se aplica. Assim, Ari pode pedir suco, então Ari não é o fixo.

Então o dia (S, A, A) existe como possibilidade, e outros dias têm Bruna ou Carlos variando. Vendo os dias possíveis: (A, A, A), (A, A, S), (A, S, S), (S, A, A). Em todos, Bruna só pede água ou suco, e Carlos também. Só Ari não pode ser fixo nem ter suco forçado. O único que, em todos os dias permitidos, tem sempre a mesma bebida é aquele fixo em um valor compatível com as regras: verificando, Bruna pede suco em (A, S, S), e água nos demais, então varia. Carlos varia também. Resta Ari como o único com bebida constante, e essa bebida é água.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BBruna pede suco no dia (água, suco, suco), então não é sempre água.
• CCarlos pede água em dias permitidos como (água, água, água), então não é sempre suco.
• DAri pede suco só se Bruna e Carlos pedirem água; não é fixo em suco.
• EBruna pede água em vários dias permitidos, então não é sempre suco.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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