Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2008

Question

Na figura vemos dois quadrados, sendo M o ponto médio de CD. Uma formiguinha parte de um ponto qualquer P do segmento AB e quer chegar ao ponto M andando apenas sobre os lados dos quadrados pelo menor caminho possível. Qual dos gráficos abaixo melhor representa a distância y que a formiguinha vai percorrer em função da distância x = AP?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Função afim

Na figura vemos dois quadrados, sendo M o ponto médio de CD. Uma formiguinha parte de um ponto qualquer P do segmento AB e quer chegar ao ponto M andando apenas sobre os lados dos quadrados pelo menor caminho possível. Qual dos gráficos abaixo melhor representa a distância y que a formiguinha vai percorrer em função da distância x = AP?

A
B
C
D
E

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Denotemos por f a função pedida. Sendo N o ponto médio do segmento AE, vamos considerar três outros pontos P, Q e R, que representam possíveis posições de partida da formiguinha. Para qualquer um desses pontos, sua distância ao ponto A será denotada por x. Temos três situações:

[Figura: Dois quadrados lado a lado com vértices A, E e B na base e C e D no topo. Entre A e E estão os pontos P, N e Q; à direita de E está o ponto R; M é o ponto médio do segmento CD. Flechas indicam caminhos: de P para A, subindo de A para C e de C para M; de Q para E e de R para E, subindo de E para D e de D para M.]

1^a) a formiguinha parte de um ponto P entre A e N. Nesse caso o menor caminho é: \text{P}\to\text{A}\to\text{C}\to\text{M}. Observe que se x=AP aumenta (P se aproxima de N), o caminho a ser percorrido também aumenta do mesmo comprimento. Isso significa que f é crescente entre A e N (e que seu gráfico, neste trecho, é um segmento de reta de inclinação igual a 1).

2^a) a formiguinha parte de um ponto Q entre N e E. Nesse caso o menor caminho é: \text{Q}\to\text{E}\to\text{D}\to\text{M}. Observe que se x=AQ aumenta (Q se aproxima de E), o caminho a ser percorrido diminui do mesmo comprimento. Isso significa que f é decrescente entre N e E (e que seu gráfico, neste trecho, é um segmento de reta de inclinação igual a -1).

3^a) a formiguinha parte de um ponto R entre E e B. Nesse caso o menor caminho é: \text{R}\to\text{E}\to\text{D}\to\text{M}. Observe que se x=AR aumenta (R se aproxima de B), o caminho a ser percorrido também aumenta do mesmo comprimento. Isso significa que f é crescente entre E e B (e que seu gráfico, neste trecho, é um segmento de reta de inclinação igual a 1).

Resumindo: entre A e B a função f cresce, decresce e torna a crescer (sempre tendo como gráfico um segmento de reta). Apenas a alternativa (A) mostra esse comportamento.

Outra solução: Na figura, marcamos o ponto médio N do segmento AE e três outros pontos P, Q e R, que representam possíveis posições de partida da formiguinha nos segmentos AN, NE e EB, respectivamente. Para qualquer um desses pontos, sua distância ao ponto A será denotada por x e vamos adotar o lado do quadrado como unidade de comprimento.

[Figura: O mesmo esquema com dois quadrados adjacentes indicando as trajetórias a partir dos pontos P, Q e R até o ponto médio M.]

Se a formiguinha sai de P, o trajeto mais curto passa por A e C, como indicado pelas flechas. Nesse caso, a formiguinha vai andar

PA + AC + CM = x + 1 + \frac{1}{2} = x + \frac{3}{2}\text{ unidades de comprimento.}

Se a formiguinha sair de N, não faz diferença ela passar por A e C ou por E e D, pois em qualquer caso ela vai andar \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 2 unidades de comprimento. Se ela sai de Q, o trajeto mais curto passa por E e D, e ela vai andar

QE + ED + DM = (1 - x) + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} - x\text{ unidades de comprimento.}

Finalmente, se ela sai de R ela vai andar

RE + ED + DM = (x - 1) + 1 + \frac{1}{2} = x + \frac{1}{2}\text{ unidades de comprimento.}

Desse modo, a função que representa a menor distância que a formiguinha deve andar de algum ponto do segmento AB, à distância x do ponto A, até chegar ao ponto M, é dada pela função

y = \begin{cases} x + \dfrac{3}{2}, \text{ se } 0 \le x \le \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{5}{2} - x, \text{ se } \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \\ x + \dfrac{1}{2}, \text{ se } 1 \le x \le 2 \end{cases}

cujo gráfico é o da alternativa (A).

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Seja \ell o lado de cada quadrado. Coloque A=(0,0), o vértice inferior do lado comum em (\ell,0), B=(2\ell,0), C=(0,\ell), D=(\ell,\ell) e M=(\ell/2,\ell). A formiga só anda sobre os lados, então há dois tipos de caminho.

Para 0\le x\le \ell (P no quadrado da esquerda): ela pode subir pelo lado esquerdo, que fica a x de distância de P, ou pelo lado comum. Pelo lado esquerdo: y=x+\ell+\ell/2=x+\tfrac{3\ell}{2}. Pelo lado comum: y=(\ell-x)+\ell+\ell/2=\tfrac{5\ell}{2}-x. O menor é o mínimo dos dois, que se iguala em x=\ell/2. Assim, y sobe de \tfrac{3\ell}{2} até 2\ell em x=\ell/2. Depois desce até \tfrac{3\ell}{2} em x=\ell.
Para \ell\le x\le 2\ell (P no quadrado da direita): ela anda até o lado comum, sobe e vai até M. Isso dá y=(x-\ell)+\ell+\ell/2=x+\tfrac{\ell}{2}. Portanto y cresce de \tfrac{3\ell}{2} até \tfrac{5\ell}{2}. O trecho percorre \ell em x, mais longo que os anteriores.

Resumo do gráfico: começa em \tfrac{3\ell}{2}, sobe até 2\ell, desce até \tfrac{3\ell}{2} e sobe de novo, num trecho mais longo. Isso corresponde ao gráfico da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BTem só dois segmentos e termina descendo; ignora que no quadrado da direita a distância só aumenta.
CComeça descendo, mas em x=0 o caminho mais curto aumenta com x pelo lado esquerdo.
DFormato de V simétrico; ignora o caminho pelo lado esquerdo e o trecho final crescente.
ETermina descendo; no quadrado da direita a formiga se afasta do lado comum, então y cresce.

Assunto: Função afim.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗