Questão 14 (Nível 3) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Chame de x o comprimento DC = FG (lados horizontais dos retângulos), de a a altura AF = EG e de b a altura FD = GC. Chame de y o comprimento GH.

O retângulo AEGF tem área x\cdot a = 10 e o retângulo FGCD tem área x\cdot b = 30.

1. Dividindo uma equação pela outra: \dfrac{b}{a} = 3, ou seja, b = 3a.

2. O triângulo GHC é retângulo em G, com catetos GH = y e GC = b. Sua área é \dfrac{y\cdot b}{2} = 27, logo y\cdot b = 54.

3. Como x\cdot b = 30, dividimos: \dfrac{y}{x} = \dfrac{54}{30} = \dfrac{9}{5}, então y = \dfrac{9x}{5}.

4. Os lados CB e GH não importam para o cálculo: o trapézio EBHG tem bases EB e GH e altura a. Precisamos de EB.

Os triângulos CGH e CEB são semelhantes (a reta CB é a mesma, e GH \parallel EB). A altura de C até EB é a+b = 4a, e até GH é b = 3a. A razão de semelhança é \dfrac{4a}{3a} = \dfrac{4}{3}.

5. Logo, a área do triângulo CEB é 27\cdot\left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = 27\cdot\dfrac{16}{9} = 48.

6. O trapézio EBHG é o triângulo CEB menos o triângulo CGH: 48 - 27 = 21.

A área do trapézio é 21\ \text{cm}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a semelhança; não respeita a razão de áreas 16/9.
• BErro de proporção: usa a razão de semelhança 4/3 em vez de seu quadrado, ou outra conta incorreta.
• DValor sem base na razão de áreas dos triângulos semelhantes.
• EValor sem base na razão de áreas dos triângulos semelhantes.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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