Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2008

Question

Numa folha quadrada de papel de 30 cm de lado, branca de um lado e cinza do outro, marcou-se um quadrado ABCD em linhas pontilhadas, como na figura 1. A folha foi dobrada ao longo das linhas pontilhadas e o resultado está mostrado na figura 2, onde a parte cinza é um quadrado de área 144\text{ cm}^2. Qual é o comprimento do segmento PA?

Figura 1: Folha quadrada de papel com vértice superior esquerdo P e um quadrado interno ABCD delimitado por linhas pontilhadas. Figura 2: Folha após ser dobrada ao longo dos lados de ABCD, mostrando quatro abas triangulares brancas sobrepostas e uma região central quadrada cinza exposta.

A
21 cm
B
22 cm
C
23 cm
D
24 cm
E
25 cm

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 2) da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Numa folha quadrada de papel de 30 cm de lado, branca de um lado e cinza do outro, marcou-se um quadrado ABCD em linhas pontilhadas, como na figura 1. A folha foi dobrada ao longo das linhas pontilhadas e o resultado está mostrado na figura 2, onde a parte cinza é um quadrado de área 144\text{ cm}^2. Qual é o comprimento do segmento PA?

Figura 1: Folha quadrada de papel com vértice superior esquerdo P e um quadrado interno ABCD delimitado por linhas pontilhadas. Figura 2: Folha após ser dobrada ao longo dos lados de ABCD, mostrando quatro abas triangulares brancas sobrepostas e uma região central quadrada cinza exposta.

A
21 cm
B
22 cm
C
23 cm
D
24 cm
E
25 cm

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sejam x e y as medidas (em centímetros) de PA e PD, respectivamente. Vemos então que x + y = 30 e que o lado do quadrado central da folha dobrada é x - y. Como a área desse quadrado é 144\text{ cm}^2, segue que seu lado mede 12\text{ cm}, ou seja, x - y = 12. Dessas duas equações segue que x = 21.

[Figura: À esquerda, um quadrado cinza com vértices das dobras indicados por linhas tracejadas formando um quadrilátero com vértices A, B, C e D nas bordas. O vértice superior esquerdo é indicado por P; na borda superior, a distância de P a A mede x e de A ao canto superior direito mede y; na borda esquerda, a distância de P a D mede y. À direita, a folha com os quatro cantos triangulares dobrados sobrepostos, deixando uma região quadrada sombreada no centro.]

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Resolução comentada

Na figura 1, o quadrado ABCD está inscrito na folha de lado 30 cm. Os quatro cantos da folha são triângulos retângulos iguais, com catetos x (por exemplo, PA) e y (por exemplo, PD), de modo que x+y=30.

Ao dobrar os cantos sobre ABCD, cada triângulo é refletido sobre a hipotenusa (lado do quadrado). Esses triângulos se cruzam no centro e deixam descoberto um quadrado cinza menor. Na figura 2, o lado desse quadrado é a diferença entre os catetos, |x-y|.

Área cinza: (x-y)^2=144, logo x-y=12 (tomando x>y).
Soma dos catetos: x+y=30.
Somando as duas equações: 2x=42, então x=21 e y=9.

Verificação: 21+9=30 e 21-9=12, cuja área é 144.

Como a figura mostra A no lado superior mais próximo de B que de P, PA é o cateto maior, ou seja, PA=21 cm. Pela figura, D está perto de P (cateto curto, 9 cm) e A está mais afastado (cateto longo, 21 cm).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com x+y=30 e x-y=12; não satisfaz o sistema.
CNão satisfaz o sistema: com 23, o outro cateto seria 7 e a diferença 16.
DCom 24, o outro cateto seria 6 e a diferença 18, não 12.
ECom 25, o outro cateto seria 5 e a diferença 20, não 12.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 15 no caderno Nível 2 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗