Correção ENEM 2026Confira suas respostas do 1º dia com o gabarito dos cursinhos e a resolução das questões, até o INEP publicar o oficialVer a correção
Entrar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 2) da OBMEP 2008

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Estefânia tem cinco cartas marcadas com as letras A, B, C, D e E, empilhadas nessa ordem de cima para baixo. Ela embaralha as cartas pegando as duas de cima e colocando-as, com a ordem trocada, embaixo da pilha. A figura mostra o que acontece nas duas primeiras vezes em que ela embaralha as cartas. Se Estefânia embaralhar as cartas 74 vezes, qual carta estará no topo da pilha?

posição inicial

Três pilhas de cinco cartas mostrando o processo de embaralhamento: na primeira pilha, da posição inicial, as cartas de cima para baixo são A, B, C, D e E; setas curvas indicam que A e B são movidas para o fundo da segunda pilha com ordem invertida, ficando B na penúltima posição e A na última; a segunda pilha fica com as cartas C, D, E, B e A; setas mostram que C e D vão para o fundo da terceira pilha com ordem invertida, resultando na ordem E, B, A, D e C de cima para baixo.

  1. A
    A
  2. B
    B
  3. C
    C
  4. D
    D
  5. E
    E
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

Cada embaralhamento retira as duas primeiras cartas, inverte a ordem entre elas e coloca esse par no fundo. Por exemplo, ao retirar A e B da pilha inicial, ficam C, D e E; acrescentando B e A ao final, obtemos C, D, E, B, A.

Para não precisar fazer os 74 embaralhamentos, podemos procurar quando a pilha volta à ordem inicial. Escrevendo sempre as cartas de cima para baixo, temos:

\begin{aligned} 0 &: A\ B\ C\ D\ E\\ 1 &: C\ D\ E\ B\ A\\ 2 &: E\ B\ A\ D\ C\\ 3 &: A\ D\ C\ B\ E\\ 4 &: C\ B\ E\ D\ A\\ 5 &: E\ D\ A\ B\ C\\ 6 &: A\ B\ C\ D\ E \end{aligned}

Após seis embaralhamentos, toda a pilha retorna à posição inicial. Como a regra é sempre a mesma, essa sequência se repete em blocos de seis.

Agora, dividimos 74 por 6:

74=12\cdot6+2.

Os primeiros 72 embaralhamentos completam 12 ciclos. Restam dois embaralhamentos, que deixam a pilha na ordem E, B, A, D, C. Portanto, a carta do topo é E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA fica no topo após 72 embaralhamentos, mas ainda faltam os dois restantes.
  • BB não ocupa o topo na configuração obtida após os dois embaralhamentos restantes.
  • CC fica no topo após 73 embaralhamentos, não após 74.
  • DD não ocupa o topo na configuração final, que é E, B, A, D, C.

Assunto: Sequências e padrões.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Nível 2 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 2. Prova oficial ↗