Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2008

Question

No segmento AB da figura existem vários pontos de coordenadas inteiras, como por exemplo (164,110). Quantos pontos com as duas coordenadas inteiras existem nesse segmento, contando os extremos?

Segmento AB no plano cartesiano com extremidade A em (2, 2), extremidade B em (902, 602) e um ponto intermediário destacado em (164, 110).

A
218
B
249
C
268
D
289
E
301

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

No segmento AB da figura existem vários pontos de coordenadas inteiras, como por exemplo (164,110). Quantos pontos com as duas coordenadas inteiras existem nesse segmento, contando os extremos?

Segmento AB no plano cartesiano com extremidade A em (2, 2), extremidade B em (902, 602) e um ponto intermediário destacado em (164, 110).

A
218
B
249
C
268
D
289
E
301

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja C um ponto de coordenadas (r,s) no segmento AB, como na figura. Da semelhança dos triângulos ADC e AEB concluímos que

\frac{r-2}{s-2} = \frac{902-2}{602-2} = \frac{3}{2},

ou seja, 3s - 2r = 2. Como queremos que r e s sejam inteiros, segue dessa equação que s é par. Uma vez assim escolhido s, o valor de r fica determinado, e desse modo obtemos todos os pontos de coordenadas inteiras no segmento AB. Como existem 301 números pares de 2 a 602, inclusive esses, segue que a alternativa correta é (E).

[Figura: Gráfico no plano cartesiano com eixos x e y no primeiro quadrante. O segmento de reta AB liga o ponto A(2, 2) ao ponto B(902, 602). Sobre o segmento AB, há um ponto C de coordenadas (r, s). Uma linha horizontal parte de A até a abscissa de B, onde forma o ponto E(902, 2), e a projeção vertical de C nessa linha horizontal determina o ponto D(r, 2), formando os triângulos semelhantes ADC e AEB.]

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Resolução comentada

Os extremos são A(2,2) e B(902,602). Os deslocamentos de A até B são \Delta x = 900 e \Delta y = 600.

Um ponto do segmento tem a forma (2+900t,\ 2+600t), com 0\le t\le 1. Simplificando a razão, \dfrac{600}{900}=\dfrac{2}{3}. Então a cada 3 unidades em x o segmento sobe exatamente 2 unidades em y.

Para as duas coordenadas serem inteiras, x-2 precisa ser múltiplo de 3. Nesse caso, y-2=\frac{2}{3}(x-2) é inteiro. Se x-2 não for múltiplo de 3, y não é inteiro.

Confira com o ponto dado: 164-2=162=3\cdot 54 e 110-2=108=2\cdot 54. Funciona.

Contagem:

Os valores de x-2 vão de 0 a 900.
Os múltiplos de 3 nesse intervalo são 0,3,6,\dots,900.
Quantidade: \dfrac{900}{3}+1=301.

Outra forma: o número de pontos inteiros é \text{mdc}(900,600)+1=300+1=301.

Contando os extremos, há 301 pontos.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o mdc; não corresponde a nenhuma contagem correta dos múltiplos.
BNão decorre de nenhuma contagem válida do segmento.
CValor arbitrário, sem base no mdc(900, 600).
DTambém não corresponde ao número de múltiplos de 3 entre 0 e 900.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗