Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2008

Question

Uma formiguinha está no ponto A do quadriculado da figura e quer chegar ao ponto B passando pelo ponto R, andando sobre os lados dos quadradinhos e apenas para a direita ou para baixo. De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?

Malha quadriculada com 5 por 5 quadradinhos. O ponto A está no vértice superior esquerdo, o ponto B no vértice inferior direito, e o ponto R situa-se 3 unidades à direita e 1 unidade abaixo de A. Ao lado direito, setas indicam as direções permitidas: "para a direita" e "para baixo".

A
20
B
24
C
40
D
48
E
60

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2008

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma formiguinha está no ponto A do quadriculado da figura e quer chegar ao ponto B passando pelo ponto R, andando sobre os lados dos quadradinhos e apenas para a direita ou para baixo. De quantas maneiras ela pode fazer esse trajeto?

Malha quadriculada com 5 por 5 quadradinhos. O ponto A está no vértice superior esquerdo, o ponto B no vértice inferior direito, e o ponto R situa-se 3 unidades à direita e 1 unidade abaixo de A. Ao lado direito, setas indicam as direções permitidas: "para a direita" e "para baixo".

A
20
B
24
C
40
D
48
E
60

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

[Figura: Malha quadriculada com o ponto A no vértice superior esquerdo e B no vértice inferior direito. O ponto R está marcado na primeira linha horizontal abaixo do topo e o ponto C está mais abaixo. Segmentos verticais que ligam o topo à linha de R aparecem com traço mais grosso. Na última coluna à direita, segmentos horizontais são identificados de cima para baixo por \text{h}_1, \text{h}_2, \text{h}_3, \text{h}_4 \text{ e } \text{h}_5.]

Para ir de A até R a formiguinha deve escolher um dos quatro segmentos verticais em traço mais grosso na primeira linha da figura. Uma vez escolhido esse segmento, há um único caminho de A até R que passa por ele. Desse modo, a formiguinha pode ir de A até R de quatro maneiras diferentes. Para ir de R a B, ela deve escolher um dos segmentos horizontais \text{h}_1, \text{h}_2, \text{h}_3, \text{h}_4 e \text{h}_5 na última coluna para chegar ao lado direito da figura, após o que só há uma maneira de chegar até B. Se ela escolher, por exemplo, o segmento \text{h}_3, ela deve ir de R até C, o que pode ser feito de três maneiras diferentes. Repetindo esse raciocínio para os outros pontos concluímos que ela pode ir de R até B de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 maneiras diferentes. Logo o número de maneiras diferentes de ir de A até R é 4 \times 15 = 60 .

Podemos também usar as letras b e d para dizer que a formiguinha percorre um segmento para baixo ou para direita, respectivamente. Um caminho de A até R é então uma seqüência de um b e três d’s; a formiguinha deve então escolher em qual das quatro posições colocar o b, donde há 4 desses caminhos. Analogamente, uma caminho de R até B consiste de uma seqüência de quatro b’s e dois d’s; a formiguinha deve escolher onde colocar os dois d’s nas seis posições disponíveis. A primeira posição para o d pode ser escolhida de 6 modos e a segunda de 5, o que nos leva a 6 \times 5 modos de fazer essas duas escolhas. No entanto, ao fazer isto estamos contando cada modo de posicionar os d’s duas vezes, uma para cada ordem de escolha das posições; o número correto de possibilidades para o caminho de R a B é, portanto, igual a \frac{6 \times 5}{2} = 15 (os caminhos de R a B podem também ser contados usando diretamente a fórmula \binom{6}{2} = C_6^2 = \frac{6 \times 5}{1 \times 2} = 15 ). Desse modo, a formiguinha tem 4 \times 15 = 60 maneiras diferentes para ir de A até B passando por R.

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Resolução comentada

Contamos os caminhos de A até R e de R até B; como a formiguinha tem de passar por R, multiplicamos os dois resultados (princípio multiplicativo).

Na figura, a malha tem 5 por 5 quadradinhos (6 linhas e 6 colunas de pontos). A está no canto superior esquerdo, B no canto inferior direito, e R está 3 unidades à direita e 1 abaixo de A.

De A até R: são 3 passos para a direita (D) e 1 para baixo (B), ou seja, 4 passos. Basta escolher qual deles é o passo para baixo: \binom{4}{1}=4 caminhos.
De R até B: B está 5 unidades à direita e 5 abaixo de A. Então, a partir de R, faltam 5-3=2 passos para a direita e 5-1=4 para baixo, num total de 6 passos. Escolhemos quais 2 são para a direita: \binom{6}{2}=\dfrac{6\cdot 5}{2}=15 caminhos.
Total: 4\cdot 15=60.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o produto 4·15; não considera corretamente os dois trechos.
BErra a contagem do segundo trecho (usa 6 caminhos em vez de 15, por exemplo).
CResulta de contar mal um dos trechos, como 4·10, usando 5 passos em vez de 6 de R a B.
DTambém vem de contagem errada de um trecho (por exemplo 4·12); o segundo trecho tem 15 caminhos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 12 no caderno Nível 3 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 3. Prova oficial ↗