Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2008

Resolução comentada

Como a formiguinha só anda para a direita ou para baixo, o trajeto de A até B passando por R se divide em duas partes independentes: de A até R e de R até B. Multiplicamos as quantidades de caminhos de cada parte (princípio multiplicativo).

Na figura, a malha tem 5 quadradinhos de lado. Tomando A como origem, R está 4 passos à direita e 1 para baixo, e B está 5 à direita e 5 para baixo.

1. De A até R: são 4 passos à direita (D) e 1 para baixo (B), ou seja, 5 passos no total. Basta escolher em qual dos 5 passos ela desce: \binom{5}{1}=5 caminhos.
2. De R até B: faltam 5-4=1 passo à direita e 5-1=4 para baixo, também 5 passos. Basta escolher em qual deles ela vai para a direita: \binom{5}{1}=5 caminhos.
3. Total: 5\times 5=25 maneiras.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a contagem; não corresponde ao produto 5·5 dos dois trechos.
• BErro de contagem dos caminhos de um dos trechos; o correto é 5 em cada um.
• DNão resulta de nenhuma contagem correta dos dois trechos (5 × 5).
• EContagem excessiva; os trechos têm só 5 caminhos cada, e 5 × 5 = 25, não 30.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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