Questão 11 (Nível 1) da OBMEP 2008

Resolução comentada

A tira tem 12 \times 48 = 576\ \text{cm}^2. A área do polígono final é essa área menos a parte que fica sobreposta, porque onde o papel se dobra sobre si mesmo duas camadas ocupam o mesmo lugar.

A primeira dobra é feita de modo que a parte que sobra forma um ângulo reto com a tira. Na figura, o trecho cinza dobrado tem o formato de um trapézio, com a parte reta de 12 cm de largura. A dobra é diagonal a 45°, e isso gera um triângulo retângulo isósceles de catetos 12 cm. A sobreposição é esse triângulo.

1. Área do triângulo sobreposto numa dobra: \dfrac{12 \times 12}{2} = 72\ \text{cm}^2.
2. A figura mostra duas dobras iguais, uma em cada extremidade, e cada uma sobrepõe um triângulo de 72\ \text{cm}^2.
3. Área sobreposta total: 2 \times 72 = 144\ \text{cm}^2.
4. Área do polígono: 576 - 144 = 432\ \text{cm}^2.

A área do polígono de 8 lados é 432\ \text{cm}^2.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa E engana quem esquece que a dobra sobrepõe papel e usa a área total da tira, 576 cm².

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a área da tira menos as sobreposições; parece usar apenas metade do comprimento da tira.
• BSubtrai áreas de sobreposição grandes demais, como se o triângulo tivesse catetos maiores.
• CSubtrai uma sobreposição incorreta (228), sem corresponder aos dois triângulos de 72 cm².
• EÉ a área total da tira, esquecendo de descontar as partes sobrepostas na dobra.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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