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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2008

Nível 1 · Matemática: Transformações geométricas e localização

A figura 1 mostra uma peça feita com quadradinhos. Com duas cópias dessa peça podemos construir um retângulo, como na figura 2. Com duas peças idênticas a cada uma das que aparecem nas alternativas também é possível montar um retângulo, com exceção de uma delas. Qual é essa peça?

Figura 1 mostrando uma peça em formato de L deitada, formada por 4 quadradinhos (3 na fileira superior e 1 abaixo do quadradinho mais à esquerda), e Figura 2 mostrando duas dessas peças encaixadas formando um retângulo de 2 por 4 quadradinhos.

  1. A
    Peça formada por 9 quadradinhos dispostos em 3 fileiras: na fileira inferior há 4 quadradinhos nas colunas 1 a 4; na fileira do meio há 1 quadradinho na coluna 1 e 2 quadradinhos nas colunas 4 e 5; na fileira superior há 2 quadradinhos nas colunas 1 e 2.
  2. B
    Peça em formato de U assimétrico formada por 6 quadradinhos em uma grade de 3 por 3: a coluna da esquerda tem 3 quadradinhos, a coluna do meio tem 1 quadradinho na base, e a coluna da direita tem 2 quadradinhos na parte inferior.
  3. C
    Peça formada por 9 quadradinhos: uma fileira superior com 5 quadradinhos; abaixo dela, a primeira coluna tem mais 2 quadradinhos para baixo, a terceira coluna tem mais 1 quadradinho para baixo e a quinta coluna tem mais 1 quadradinho para baixo.
  4. D
    Peça formada por 7 quadradinhos: uma fileira inferior com 5 quadradinhos e, acima dela, 1 quadradinho na primeira coluna e 1 quadradinho na terceira coluna.
  5. E
    Peça formada por 16 quadradinhos dispostos em 4 fileiras e 7 colunas: na primeira fileira (topo) há 7 quadradinhos (colunas 1 a 7); na segunda fileira há 2 quadradinhos (colunas 1 e 5); na terceira fileira há 6 quadradinhos (colunas 1, 2, 3, 5, 6 e 7); na quarta fileira (base) há 1 quadradinho na coluna 1.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Para formar um retângulo com duas peças iguais, a segunda peça precisa ocupar exatamente os "buracos" da primeira, depois de girada. Duas peças de n quadradinhos dão um retângulo de 2n quadradinhos.

Vamos testar cada peça, descrevendo as fileiras de cima para baixo.

(A) Fileiras: colunas 1-2; colunas 1, 4, 5; colunas 1-4. Girando 180° uma cópia e encaixando, o retângulo 3\times 5 fecha (9+9=18 não é 15, então a conta precisa de 3\times 6). Os 9 quadradinhos dão 18, e o encaixe forma 3\times 6. Funciona.

(B) Tem 6 quadradinhos. A peça é: coluna 1 com 3, coluna 2 com 1 e coluna 3 com 2. Girada 180°, ela preenche o espaço vazio e forma 3\times 4 (12 quadradinhos). Funciona.

(C) Fileira superior com 5, mais colunas descendo (2, 0, 1, 0, 1). A cópia girada 180° encaixa nos vãos e forma 3\times 6? Os 18 quadradinhos fecham um retângulo 3\times 6. Funciona.

(D) Fileira de 5 embaixo e quadradinhos em cima nas colunas 1 e 3. Com 7 quadradinhos, duas peças dão 14, ou seja, 2\times 7. A cópia girada tem fileira de 5 em cima e pontas para baixo nas colunas 1 e 3 (contando da direita, colunas 5 e 3). Os dentes ficam em colunas de mesma paridade e não se alinham com os vãos (colunas 2, 4, 5). Não fecha. Os vãos exigiriam colunas 2, 4 e 5, e a peça girada tem dentes em 3 e 5. Não funciona.

(E) Com 16 quadradinhos, duas peças formam 4\times 8 (32 quadradinhos). A peça girada 180° encaixa nos vãos. Funciona.

Portanto a peça que não forma retângulo é a da letra D.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADuas cópias, uma girada 180°, encaixam e formam um retângulo.
  • BUma cópia girada 180° preenche o vão e forma um retângulo 3\times 4.
  • CA cópia girada encaixa nos vãos da fileira de dentes e fecha o retângulo.
  • EAs duas cópias se complementam e formam um retângulo 4\times 8.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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Ver como caiu na prova Questão 12 no caderno Nível 1 da OBMEP 2008

Fonte: OBMEP 2008 · Nível 1. Prova oficial ↗