Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

A figura mostra quatro polígonos desenhados em uma folha quadriculada. Para cada uma dessas figuras foi assinalado, no plano cartesiano à direita, o ponto cujas coordenadas horizontal e vertical são, respectivamente, seu perímetro e sua área.

À esquerda, uma malha quadriculada contendo quatro polígonos cinzas identificados por I, II, III e IV. À direita, um plano cartesiano com o eixo horizontal indicando perímetro e o eixo vertical indicando área, contendo os pontos A, B, C e D.

Qual é a correspondência correta entre os polígonos e os pontos?

A
\text{I} \rightarrow \text{A}, \text{II} \rightarrow \text{D}, \text{III} \rightarrow \text{B}, \text{IV} \rightarrow \text{C}
B
\text{I} \rightarrow \text{D}, \text{II} \rightarrow \text{A}, \text{III} \rightarrow \text{C}, \text{IV} \rightarrow \text{A}
C
\text{I} \rightarrow \text{C}, \text{II} \rightarrow \text{B}, \text{III} \rightarrow \text{D}, \text{IV} \rightarrow \text{A}
D
\text{I} \rightarrow \text{C}, \text{II} \rightarrow \text{A}, \text{III} \rightarrow \text{B}, \text{IV} \rightarrow \text{D}
E
\text{I} \rightarrow \text{C}, \text{II} \rightarrow \text{B}, \text{III} \rightarrow \text{A}, \text{IV} \rightarrow \text{D}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura mostra quatro polígonos desenhados em uma folha quadriculada. Para cada uma dessas figuras foi assinalado, no plano cartesiano à direita, o ponto cujas coordenadas horizontal e vertical são, respectivamente, seu perímetro e sua área.

À esquerda, uma malha quadriculada contendo quatro polígonos cinzas identificados por I, II, III e IV. À direita, um plano cartesiano com o eixo horizontal indicando perímetro e o eixo vertical indicando área, contendo os pontos A, B, C e D.

Qual é a correspondência correta entre os polígonos e os pontos?

A
\text{I} \rightarrow \text{A}, \text{II} \rightarrow \text{D}, \text{III} \rightarrow \text{B}, \text{IV} \rightarrow \text{C}
B
\text{I} \rightarrow \text{D}, \text{II} \rightarrow \text{A}, \text{III} \rightarrow \text{C}, \text{IV} \rightarrow \text{A}
C
\text{I} \rightarrow \text{C}, \text{II} \rightarrow \text{B}, \text{III} \rightarrow \text{D}, \text{IV} \rightarrow \text{A}
D
\text{I} \rightarrow \text{C}, \text{II} \rightarrow \text{A}, \text{III} \rightarrow \text{B}, \text{IV} \rightarrow \text{D}
E
\text{I} \rightarrow \text{C}, \text{II} \rightarrow \text{B}, \text{III} \rightarrow \text{A}, \text{IV} \rightarrow \text{D}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Usando o lado \ell de um dos quadradinhos do quadriculado como unidade de comprimento, a contagem direta na figura nos dá as áreas e perímetros dos polígonos, conforme a tabela abaixo.

polígono	perímetro (em \ell)	área (em \ell^2)
I	20	5 \times 5 = 25
II	20	25 - 3 = 22
III	30	25 - 7 = 18
IV	34	25 - 7 = 18

Desse modo, a correspondência é \text{I} \to (20,25), \text{II} \to (20,22), \text{III} \to (30,18) e \text{IV} \to (34,20). Os pontos correspondentes a I e II têm a mesma abscissa (perímetro), logo estão na mesma vertical no plano cartesiano; como o ponto correspondente a I tem ordenada (área) maior, ele é o que está mais acima, e segue que para estes pontos a correspondência correta é \text{I} \to \text{C} e \text{II} \to \text{B}. Por outro lado, os pontos correspondentes a III e IV têm a mesma ordenada (área), logo estão na mesma horizontal no plano cartesiano; como o ponto correspondente a IV tem abscissa (perímetro) maior, ele está mais à direita. Segue que para esses pontos a correspondência correta é \text{III} \to \text{D} e \text{IV} \to \text{A}.

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Resolução comentada

Cada célula da malha vale 1 de lado e 1 de área. Comparamos os polígonos pelo perímetro e pela área.\n\n1. O polígono I é um quadrado 5\times 5. Seu perímetro é 20 e sua área é 25, a maior de todas. No gráfico, o ponto mais alto é C. Logo, I → C.\n\n2. O polígono II é um quadrado 5\times5 sem duas células no canto superior direito e sem uma célula no canto inferior esquerdo. Sua área é 25-2-1=22. Retirar células de cantos não altera o perímetro, que continua 20. Assim, II tem o mesmo perímetro de I e área menor: é o ponto B, logo abaixo de C. Logo, II → B.\n\n3. III e IV têm a mesma área, pois D e A estão na mesma altura. Eles diferem no perímetro, e o ponto A está mais à direita que D, com perímetro maior. Cada reentrância estreita (fenda) aumenta o perímetro, e IV tem mais fendas e recortes que III. Logo, IV tem o maior perímetro (A) e III fica com D. Estimei essa comparação a olho pela figura, sem contar todos os lados.\n\nCorrespondência: I → C, II → B, III → D, IV → A.\n\nAlternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AAssocia I ao ponto A, mas I tem a maior área e perímetro 20, o que corresponde ao ponto C.
BAssocia I a D e usa o ponto A duas vezes, o que não é possível.
DAssocia II a A, mas II tem perímetro 20, igual ao de I, e não o maior perímetro.
ETroca III e IV: coloca III em A e IV em D, mas IV tem mais fendas e portanto maior perímetro.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Leitura e interpretação de gráficos.

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Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗