Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

Duas formigas partem do ponto A e vão até o ponto D, andando no sentido indicado pelas flechas. A primeira percorre o semicírculo maior; a segunda, o segmento AB, o semicírculo menor e o segmento CD. Os pontos A, B, C e D estão alinhados e os segmentos AB e CD medem 1\text{ cm} cada um. Quantos centímetros a segunda formiga andou menos que a primeira?

A
2
B
\pi
C
\frac{\pi}{2}
D
\pi - 2
E
2\pi

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Duas formigas partem do ponto A e vão até o ponto D, andando no sentido indicado pelas flechas. A primeira percorre o semicírculo maior; a segunda, o segmento AB, o semicírculo menor e o segmento CD. Os pontos A, B, C e D estão alinhados e os segmentos AB e CD medem 1\text{ cm} cada um. Quantos centímetros a segunda formiga andou menos que a primeira?

A
2
B
\pi
C
\frac{\pi}{2}
D
\pi - 2
E
2\pi

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Consideremos as circunferências que determinam os dois semicírculos, como na figura. O segmento AD é um diâmetro da circunferência maior e BC um diâmetro da menor. O centro da circunferência menor é o ponto médio O de BC; como AB = CD esse ponto também é ponto médio do segmento AD, ou seja, ele também é o centro da circunferência maior.

[Figura: Duas circunferências concêntricas de centro O, com os semicírculos superiores em linha contínua e os inferiores em linha tracejada. O diâmetro horizontal contém os pontos A, B, O, C e D, indicando as medidas AB = 1\text{ cm}, OC = r e CD = 1\text{ cm}.]

Vamos denotar por r o raio da circunferência menor; então o raio da maior é r + 1. Como o perímetro de uma circunferência é 2\pi \times raio, segue que a primeira formiguinha andou \pi(r + 1)\text{ cm} e a segunda 1 + \pi r + 1 = 2 + \pi r\text{ cm}. Logo a diferença entre os percursos é \pi(r + 1) - (2 + \pi r) = \pi r + \pi - 2 - \pi r = \pi - 2\text{ cm}.

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Resolução comentada

Use o comprimento de uma semicircunferência de diâmetro d: \frac{\pi d}{2}.

Chame de d o diâmetro do semicírculo menor, que é o segmento BC. O semicírculo maior tem diâmetro AD = AB + BC + CD = 1 + d + 1 = d + 2.

Caminho da primeira formiga (semicírculo maior): \dfrac{\pi (d+2)}{2} = \dfrac{\pi d}{2} + \pi.
Caminho da segunda formiga (AB, semicírculo menor, CD): 1 + \dfrac{\pi d}{2} + 1 = \dfrac{\pi d}{2} + 2.
Diferença: \left(\dfrac{\pi d}{2} + \pi\right) - \left(\dfrac{\pi d}{2} + 2\right) = \pi - 2.

Note que o valor de d some na subtração, então não precisamos conhecê-lo. A segunda formiga anda \pi - 2\ \text{cm} a menos.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem calcula só a diferença entre os arcos e esquece que a segunda formiga também anda 1+1 em linha reta.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera só o que a segunda formiga anda em linha reta (1+1), ignorando a diferença entre os arcos.
BConsidera só a diferença entre os arcos (\pi) e esquece de descontar os 2\ \text{cm} dos segmentos AB e CD.
CUsa \frac{\pi}{2}, que não aparece na diferença; confunde a fórmula do semicírculo com o resultado.
EDobra a diferença dos arcos, sem base no cálculo, e também ignora os segmentos retos.

Assunto: Círculo: comprimento, arcos e áreas.

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Questão 10 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗