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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

A figura mostra um triângulo retângulo ABC e três triângulos retângulos congruentes sombreados. O lado BC tem comprimento 1\text{ cm}. Qual é o perímetro do triângulo ABC, em centímetros?

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C, contendo um retângulo central não sombreado e três triângulos retângulos congruentes sombreados em cinza apoiados nos vértices A, B e C, sendo o lado BC medindo 1 cm.

  1. A
    3+\sqrt{5}
  2. B
    2+2\sqrt{5}
  3. C
    5-\sqrt{5}
  4. D
    5
  5. E
    6
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Seja H o pé da altura de C sobre AB. O triângulo CHB é um dos três congruentes. Chame seus catetos de h=CH (vertical) e x=HB (horizontal); a hipotenusa é BC=1.

Seja r a altura do retângulo e w a sua largura.

Triângulo da esquerda. Ele tem o ângulo A e catetos r (vertical) e a (horizontal). No triângulo CHB, o ângulo A está oposto ao cateto x e adjacente ao cateto h, pois \tg A = x/h. Para serem congruentes, r=x e a=h.

Triângulo de cima. Seu ângulo em C vale \angle ACH = B, e \tg B = h/x. Seus catetos são w (horizontal) e h-r (vertical). Como o horizontal fica oposto ao ângulo B, temos w=h e h-r=x.

Como r=x, a segunda igualdade dá h-x=x, isto é, h=2x.

No triângulo CHB:

x^2+h^2=1 \Rightarrow 5x^2=1 \Rightarrow x=\tfrac{1}{\sqrt5},\quad h=\tfrac{2}{\sqrt5}.

Agora os lados de ABC:

  1. AH=a+w=h+h=\tfrac{4}{\sqrt5}.
  2. AB=AH+HB=\tfrac{4}{\sqrt5}+\tfrac{1}{\sqrt5}=\sqrt5.
  3. AC=\sqrt{AH^2+h^2}=\sqrt{\tfrac{16}{5}+\tfrac{4}{5}}=2.

Perímetro: 1+2+\sqrt5=3+\sqrt5.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com as medidas obtidas (AC=2, AB=\sqrt5, BC=1); não corresponde à soma dos lados.
  • CResulta de um erro nas proporções dos triângulos semelhantes; o perímetro real é maior que 3.
  • DValor inteiro que ignora que AB=\sqrt5 é irracional.
  • EValor inteiro sem base nas medidas; o perímetro envolve \sqrt5.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 7 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗