Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2007

Question

Um retângulo de papelão com 45\text{ cm} de altura é cortado em dois pedaços, como na figura. Com esses dois pedaços é possível montar um quadrado de lado maior que 45\text{ cm}. Qual é o comprimento da base do retângulo?

Figura mostrando um retângulo com altura indicada à esquerda como 45 cm. Uma linha pontilhada em forma de escada, começando na borda superior onde há o desenho de uma tesoura e terminando na borda inferior, divide o retângulo em duas peças. A linha pontilhada possui três segmentos verticais e dois segmentos horizontais.

A
65
B
70
C
75
D
80
E
85

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 2) da OBMEP 2007

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um retângulo de papelão com 45\text{ cm} de altura é cortado em dois pedaços, como na figura. Com esses dois pedaços é possível montar um quadrado de lado maior que 45\text{ cm}. Qual é o comprimento da base do retângulo?

Figura mostrando um retângulo com altura indicada à esquerda como 45 cm. Uma linha pontilhada em forma de escada, começando na borda superior onde há o desenho de uma tesoura e terminando na borda inferior, divide o retângulo em duas peças. A linha pontilhada possui três segmentos verticais e dois segmentos horizontais.

A
65
B
70
C
75
D
80
E
85

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Solução oficial da OBMEP

Na figura I mostramos o retângulo antes de ser cortado e, na figura II, o modo como as peças se encaixam para formar o quadrado.

[Figura: Esquema comparativo composto pela Figura I e pela Figura II. A Figura I mostra um retângulo com altura indicada de 45 cm, cortado por uma linha em escada formada por três segmentos verticais em traço grosso e quatro segmentos horizontais pontilhados. A Figura II mostra o rearranjo das duas partes formando um quadrado, com indicação da altura de 45 cm e o encaixe ao longo dos mesmos segmentos pontilhados e em traço grosso.]

O encaixe mostra que os segmentos pontilhados são todos iguais, assim como os segmentos em traço mais grosso. Observando a figura I, vemos então que

3 \times (\text{comprimento de um segmento em traço grosso}) = 45\text{ cm},

donde o comprimento de um desses segmentos é 45 \div 3 = 15\text{ cm}. Da figura II temos

\text{lado do quadrado} = 45 + \text{comprimento do segmento em traço grosso} = 60\text{ cm}.

Por outro lado, ainda observando a figura II, vemos que

3 \times (\text{comprimento de um segmento pontilhado}) = 60\text{ cm},

donde o comprimento de um desses segmentos é 60 \div 3 = 20\text{ cm}. Finalmente, voltando à figura I, temos

4 \times (\text{comprimento de um segmento em traço grosso}) = \text{base do retângulo},

e segue que a base do retângulo mede 4 \times 20 = 80\text{ cm}.

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Resolução comentada

Esse é o clássico corte em escada: cada peça tem degraus iguais, e deslizando uma peça um degrau para cima e para a direita (ou esquerda) o retângulo vira um quadrado.

A linha tem 3 segmentos verticais e 2 horizontais, então são 3 degraus de altura e 2 de largura. Chame de a a altura de cada degrau vertical e de b a largura de cada degrau horizontal.

A altura do retângulo é 3a = 45, logo a = 15\ \text{cm}.
Ao deslizar uma peça um degrau, a altura do novo retângulo aumenta a e a base diminui b. Como são 2 degraus horizontais, a base original é B, e a nova figura tem altura 45 + 15 = 60\ \text{cm} e base B - b.
Para ser quadrado: B - b = 60.
O corte horizontal começa a uma distância b da borda esquerda e termina a b da borda direita, com 2 degraus horizontais no meio. Assim, a base é composta por b (trecho inicial), 2b (os dois degraus) e o trecho final. Na figura, o primeiro trecho vale b, os degraus valem b cada e o resto também vale b, ou seja, B = 4b.
Então 4b - b = 60, logo 3b = 60 e b = 20\ \text{cm}.
Base: B = 4 \cdot 20 = 80\ \text{cm}.

Verificação: a área do retângulo é 45 \cdot 80 = 3600, e o quadrado de lado 60 tem área 3600. Confere, e 60 > 45.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a área: 45\cdot65 não é quadrado perfeito.
B45\cdot70=3150 não é quadrado perfeito, então não forma um quadrado.
C45\cdot75=3375 não é quadrado perfeito, logo não serve.
E45\cdot85=3825 não é quadrado perfeito, logo não serve.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 7 no caderno Nível 2 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗