Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2007

Question

Um retângulo de papelão com 45\text{ cm} de altura foi cortado em dois pedaços iguais, como na figura. Com esses dois pedaços é possível montar um quadrado de lado maior que 45\text{ cm}. Qual é o comprimento da base do retângulo?

Figura de um retângulo de altura 45 cm sendo cortado por uma linha pontilhada em formato de escada com três segmentos verticais e dois segmentos horizontais internos, dividindo o retângulo em duas peças iguais. Há o desenho de uma tesoura no início do corte na borda superior.

A
65
B
70
C
75
D
80
E
85

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 1) da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Um retângulo de papelão com 45\text{ cm} de altura foi cortado em dois pedaços iguais, como na figura. Com esses dois pedaços é possível montar um quadrado de lado maior que 45\text{ cm}. Qual é o comprimento da base do retângulo?

Figura de um retângulo de altura 45 cm sendo cortado por uma linha pontilhada em formato de escada com três segmentos verticais e dois segmentos horizontais internos, dividindo o retângulo em duas peças iguais. Há o desenho de uma tesoura no início do corte na borda superior.

A
65
B
70
C
75
D
80
E
85

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Solução oficial da OBMEP

Na figura I mostramos o retângulo antes de ser cortado e, na figura II, o modo como as peças se encaixam para formar o quadrado.

[Figura: esquemas geométricos intitulados Figura I e Figura II. A Figura I mostra um retângulo com altura indicada por uma cota vertical roxa de 45\text{ cm}, cortado por uma linha em escada composta por segmentos verticais em traço mais grosso e segmentos horizontais pontilhados. A Figura II mostra as duas peças encaixadas formando um quadrado, com a altura de 45\text{ cm} indicada ao lado de um degrau.]

O encaixe mostra que os segmentos pontilhados são todos iguais, assim como os segmentos em traço mais grosso. Observando a figura I, vemos então que

3\times(\text{comprimento de um segmento em traço grosso}) = 45\text{ cm},

donde o comprimento de um desses segmentos é 45 \div 3 = 15\text{ cm}. Da figura II temos

\text{lado do quadrado} = 45 + \text{comprimento do segmento em traço grosso} = 60\text{ cm}.

Por outro lado, ainda observando a figura II, vemos que

3\times(\text{comprimento de um segmento pontilhado}) = 60\text{ cm},

donde o comprimento de um desses segmentos é 60 \div 3 = 20\text{ cm}. Finalmente, voltando à figura I, temos

4\times(\text{comprimento de um segmento em traço pontilhado}) = \text{base do retângulo},

e segue que a base do retângulo mede 4 \times 20 = 80\text{ cm}.

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Resolução comentada

Este é o clássico corte em escada: ao deslizar uma peça sobre a outra, deslocando-a um degrau, o retângulo vira um quadrado com um degrau a menos.

O corte tem 3 trechos verticais e 2 horizontais. Seja h a altura de cada trecho vertical e d a largura de cada trecho horizontal. A altura total é 3h = 45, então h = 15\ \text{cm}.

A figura mostra que o corte começa a uma distância d da borda esquerda e termina a uma distância d da borda direita, com dois degraus entre os pontos. Assim, a base é:

B = d + 2d + d = 4d

Uma das peças é a de cima à direita e a outra a de baixo à esquerda. Deslocando uma peça d para a direita e h para cima (um degrau), os degraus se encaixam. A base fica B - d = 3d (sobra uma parte nas pontas) e a altura passa a ser 45 + 15 = 60.

Para formar um quadrado:

Lado do quadrado: 60\ \text{cm} (maior que 45, como diz o enunciado).
Base após o deslocamento: 3d = 60, logo d = 20\ \text{cm}.
Base original: B = 4d = 80\ \text{cm}.

Conferindo a área: 45 \times 80 = 3600 = 60^2. ✓

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a área: 45\times65 não é quadrado perfeito.
B45\times70=3150 não é quadrado perfeito, então não forma um quadrado.
C45\times75=3375 não é quadrado perfeito, portanto não serve.
E45\times85=3825 não é quadrado perfeito, portanto não serve.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 16 no caderno Nível 1 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗