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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da OBMEP 2007

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura abaixo é formada por hexágonos regulares e triângulos equiláteros. Sua área total é 154\text{ cm}^2. Qual é a área da região sombreada?

Figura geométrica composta por três hexágonos regulares brancos alinhados horizontalmente e quatro triângulos equiláteros sombreados de cinza posicionados nos espaços superiores e inferiores entre os hexágonos adjacentes.

  1. A
    16\text{ cm}^2
  2. B
    24\text{ cm}^2
  3. C
    28\text{ cm}^2
  4. D
    32\text{ cm}^2
  5. E
    36\text{ cm}^2
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Um hexágono regular de lado a se divide em 6 triângulos equiláteros de lado a. Vamos medir tudo em triângulos desse tamanho.

Olhando a figura: os três hexágonos têm lados em comum com os triângulos sombreados, e os triângulos cinza têm um vértice no centro do espaço entre hexágonos, o ponto onde dois hexágonos se tocam. Cada triângulo cinza tem lado igual ao lado do hexágono, pois sua base é um lado do contorno superior (ou inferior) da figura entre dois hexágonos.

A figura toda é um hexágono maior "esticado": o contorno é um retângulo-hexágono de largura 3 hexágonos menos as sobreposições. Contando por partes:

  1. Os 3 hexágonos brancos? Na verdade, os hexágonos das pontas estão inteiros e o do meio também; os triângulos cinza ocupam o espaço entre eles. Cada hexágono vale 6 triângulos, então os três valem 3\times 6 = 18 triângulos.
  2. Os triângulos sombreados são 4, cada um com área de 1 triângulo.
  3. Total: 18 + 4 = 22 triângulos.

Cada triângulo mede então:

\frac{154}{22} = 7\ \text{cm}^2

Área sombreada: 4\times 7 = 28\ \text{cm}^2.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa 22 triângulos mas calcula com área 4 por triângulo, ou divide errado; não corresponde a 4 triângulos de 7 cm².
  • BSupõe 154/24 por triângulo ou conta 24 triângulos no total, errando a contagem.
  • DSupõe 4 triângulos de 8 cm², ou seja, 154 dividido por 19, contagem errada.
  • ESupõe 4 triângulos de 9 cm², divisão incompatível com 22 triângulos.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Nível 2 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗