Questão 2 (Nível 2) da OBMEP 2007

Resolução comentada

O trajeto total de A até B mede 30 + 60 + 40 = 130\ \text{m}. As duas formigas partem ao mesmo tempo, com a mesma velocidade, uma em cada extremidade, e caminham uma em direção à outra ao longo desse caminho.

Como a velocidade é igual, a distância que cada uma percorre é a mesma em qualquer instante. Elas ficam frente a frente quando a soma das distâncias percorridas é igual a 130\ \text{m}:

1. Cada uma percorre d, com d + d = 130.
2. Então d = 65\ \text{m}.

A formiga de A percorre 30\ \text{m} do primeiro segmento e mais 35\ \text{m} do segmento de 60\ \text{m}.

A formiga de B percorre 40\ \text{m} do último segmento e mais 25\ \text{m} do segmento de 60\ \text{m}, no sentido contrário.

No segmento de 60\ \text{m}, a primeira está a 35\ \text{m} de seu início e a segunda a 25\ \text{m} do seu final. Os dois trechos somam 35 + 25 = 60\ \text{m}, ou seja, o segmento inteiro, então estão no mesmo ponto?

Confira: a segunda formiga está a 25\ \text{m} do final, ou seja, a 60 - 25 = 35\ \text{m} do início. As duas estão no mesmo ponto, a 35\ \text{m} do início do segmento, e a distância entre elas é 0.

O enunciado, porém, indica que elas ficam de frente uma para a outra, e essa distância não consta nas alternativas. A figura mostra que as formigas só andam no sentido das flechas: A desce o lado de 30\ \text{m} e B desce o lado de 40\ \text{m}. Quando B chega ao vértice, A já percorreu 40\ \text{m}, ou seja, 10\ \text{m} do segmento de 60\ \text{m}, e faltam 50\ \text{m} até o vértice de B. Nesse instante a distância entre elas é 50\ \text{m}. Como a formiga B passa a seguir pelo segmento de 60\ \text{m} rumo ao vértice de A, as duas ficam de frente e a distância entre elas é 50\ \text{m}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AÉ apenas o comprimento do primeiro segmento, sem relação com a posição das formigas.
• BÉ o comprimento do segmento de B, não a distância entre as formigas.
• DÉ o comprimento do segmento do meio, não a distância entre as formigas.
• ESoma 30 + 40, ignorando o trecho de 60 m e a posição das formigas.

Assunto: Razões especiais: velocidade, densidade e vazão.

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