Questão 20 (Nível 1) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Cada linha e cada coluna têm de conter os três números (5, 8 e x) sem repetir, então o tabuleiro é um quadrado latino 3\times3.

Nesse tipo de tabuleiro, uma das diagonais tem os três números iguais e a outra tem os três diferentes. Isso vale nas duas disposições possíveis, que são cíclicas.

A diagonal com números diferentes soma 5+8+x=13+x.

A diagonal com números iguais soma 3k, em que k é 5, 8 ou x. Como as duas somas são iguais, 3k=13+x. Testando cada k:

1. k=5: 15=13+x, então x=2. A soma seria 15, que é ímpar, e o enunciado pede soma par. Não serve.
2. k=8: 24=13+x, então x=11. A soma é 24, que é par. Serve.
3. k=x: 3x=13+x, então x=6{,}5. Não é natural. Não serve.

Assim, x=11 e a soma de cada diagonal é 24.

Alternativa C.

Pegadinha: O caso k=5 dá x=2 e soma 15, que parece servir, mas é ímpar; a condição de soma par elimina esse caso.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A18 não corresponde a nenhum caso: 3k=18 daria k=6, que não é 5, 8 nem x com x=5.
• B20 não é múltiplo de 3, então não pode ser a soma da diagonal com três números iguais.
• D28 não é múltiplo de 3, então não pode ser a soma da diagonal com três números iguais.
• E30 daria k=10, que não é 5, 8 nem x (seria x=17, e k=x não vale).

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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