Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2007

Question

As nove casas do tabuleiro ao lado foram preenchidas com três números: 5, 8 e mais um outro número natural. Os números em cada linha são todos diferentes, e o mesmo acontece em cada coluna. Além disso, a soma dos números em cada uma das diagonais é o mesmo número par. Qual é essa soma?

Tabuleiro de grade 3 por 3 com nove casas quadradas em branco

A
18
B
20
C
24
D
28
E
30

Answer 1

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Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2007

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

As nove casas do tabuleiro ao lado foram preenchidas com três números: 5, 8 e mais um outro número natural. Os números em cada linha são todos diferentes, e o mesmo acontece em cada coluna. Além disso, a soma dos números em cada uma das diagonais é o mesmo número par. Qual é essa soma?

Tabuleiro de grade 3 por 3 com nove casas quadradas em branco

A
18
B
20
C
24
D
28
E
30

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Solução oficial da OBMEP

Vamos denotar por x o outro número. Como os 3 números que aparecem em cada linha são todos diferentes, x é diferente de 5 e de 8. Como cada número aparece uma única vez em cada linha, segue que esses números aparecem, cada um, exatamente três vezes na tabela.

Notamos que o 5 não pode aparecer na casa central. De fato, se ele estivesse nessa casa então as casas em cinza da tabela abaixo não poderiam conter outro 5; como os números em cada linha são diferentes, a única possibilidade para os outros dois números 5 seria preencher uma das duas diagonais, o que não pode acontecer pois 5 + 5 + 5 = 15 é ímpar.

[Figura: Três tabuleiros 3 \times 3. O primeiro mostra o número 5 na casa central e as casas da linha e coluna centrais sombreadas de cinza, apontando por meio de uma seta para duas opções separadas pela palavra "ou": uma com o número 5 preenchendo a diagonal principal e outra com o número 5 preenchendo a diagonal secundária.]

Vamos então tentar o 8 na casa central. Analogamente, teremos que ter 8 em uma das diagonais:

[Figura: Três tabuleiros 3 \times 3. O primeiro mostra o número 8 na casa central e casas adjacentes sombreadas, apontando para duas opções com o número 8 preenchendo, respectivamente, a diagonal principal ou a diagonal secundária.]

Escolhendo a primeira opção, podemos preencher o tabuleiro das seguintes formas:

[Figura: Sequência de três tabuleiros 3 \times 3 conectados por setas, mostrando o passo a passo do preenchimento a partir da diagonal de 8s, posicionando primeiro o 5 e depois completando com x.]

ou

[Figura: Sequência de três tabuleiros 3 \times 3 conectados por setas, mostrando o preenchimento alternativo a partir da diagonal de 8s, posicionando primeiro o x e depois completando com 5.]

Para satisfazer todas as condições do problema, as somas nas diagonais devem ser iguais. Em ambas as formas acima isso leva a 24 = 5 + 8 + x = 13 + x, donde x = 11 e os tabuleiros acima são

[Figura: Dois tabuleiros 3 \times 3 totalmente preenchidos com os números 8, 5 e 11, separados pela palavra "ou". O primeiro tem linhas [8, 5, 11], [11, 8, 5], [5, 11, 8] e o segundo tem linhas [8, 11, 5], [5, 8, 11], [11, 5, 8].]

A outra opção leva a um resultado análogo, e vemos que em qualquer caso a soma das diagonais é 24.

Resta ainda analisar o caso em que o x está na casa central. Como antes, devemos ter uma das duas diagonais preenchida com x:

[Figura: Três tabuleiros 3 \times 3. O primeiro mostra x na casa central, apontando para duas opções com x preenchendo a diagonal principal ou a diagonal secundária.]

Escolhendo a primeira opção, podemos preencher o tabuleiro das seguintes formas:

[Figura: Sequência de três tabuleiros 3 \times 3 conectados por setas, preenchendo a partir da diagonal com x, adicionando 5 e completando com 8.]

ou

[Figura: Sequência de três tabuleiros 3 \times 3 conectados por setas, preenchendo a partir da diagonal com x, adicionando 8 e completando com 5.]

Ambas mostram que 3x = 5 + x + 8 = 13 + x, donde 2x = 13. A segunda opção leva à mesma equação; como ela não tem solução para x natural, concluímos que x não pode estar na casa central.

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Resolução comentada

O tabuleiro é 3×3 e usa só três números: 5, 8 e um terceiro, x. Como cada linha e cada coluna têm três casas com números diferentes, cada linha e cada coluna contém 5, 8 e x exatamente uma vez. Isso é um quadrado latino.

As duas diagonais têm três casas cada, e o centro pertence às duas. Num quadrado latino 3×3, cada diagonal ou tem três números iguais ou tem os três diferentes.

Caso 1: diagonal com três números iguais. A soma seria 3\cdot 5=15, 3\cdot 8=24 ou 3x. As duas diagonais têm o mesmo centro, então os três números iguais seriam os mesmos nas duas, e isso é impossível (a casa do centro repetiria a linha ou coluna). Em um quadrado latino 3×3, se uma diagonal é constante, a outra tem os três números diferentes.

Portanto uma diagonal é constante (soma 3a) e a outra tem os três números diferentes (soma 5+8+x=13+x).

As somas são iguais: 3a=13+x, e a é 5, 8 ou x.

a=5: 15=13+x, então x=2 e a soma é 15, que é ímpar. Não serve.
a=8: 24=13+x, então x=11 e a soma é 24, que é par. Serve.
a=x: 3x=13+x dá x=6{,}5, que não é natural. Não serve.

Logo a soma é 24.

Alternativa C.

Pegadinha: O caso a=5 dá x=2 e soma 15, que parece válido, mas é ímpar; só o caso da soma par (24) satisfaz o enunciado.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão resulta de nenhum caso possível; a soma 18 não é compatível com as condições do quadrado latino.
BSoma 20 não corresponde a nenhum valor natural de x nos casos possíveis.
DSoma 28 não é obtida por nenhum dos casos (15, 24 ou 3x com x natural).
ESoma 30 não aparece em nenhum dos casos possíveis.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗