As nove casas do tabuleiro ao lado foram preenchidas com três números: 5, 8 e mais um outro número natural. Os números em cada linha são todos diferentes, e o mesmo acontece em cada coluna. Além disso, a soma dos números em cada uma das diagonais é o mesmo número par. Qual é essa soma?
A
18
B
20
C
24
D
28
E
30
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Cada linha e cada coluna tem três casas e os números são todos diferentes. Como só existem três números no tabuleiro (5, 8 e x), cada linha e cada coluna contém exatamente 5, 8 e x uma vez. Isso é um quadrado latino 3\times3.\n\nNum quadrado latino 3\times3, a diagonal principal tem duas possibilidades: os três números iguais, ou os três diferentes. O mesmo vale para a outra diagonal.\n\nO centro é comum às duas diagonais. Se uma diagonal tem os três números iguais, a outra tem os três diferentes. Isso se verifica no exemplo abaixo, que tem uma diagonal com três números iguais:\n\n
\n\nAqui a diagonal principal é a,a,a, e a outra é c,a,b, com os três diferentes. Então as somas são 3a e a+b+c=13+x.\n\nAs duas somas são iguais: 3a=13+x.\n\nTestando os valores de a:\n\n1. Se a=5: 15=13+x, então x=2. A soma é 15, que é ímpar, e não serve.\n2. Se a=8: 24=13+x, então x=11. A soma é 24, que é par, e serve.\n3. Se a=x: 3x=13+x, então x=6{,}5, que não é natural.\n\nO caso em que as duas diagonais têm os três números diferentes dá soma 13+x nas duas. Como a soma deve ser par, x seria ímpar, e há valores possíveis para x, o que deixaria a soma indeterminada. Por isso a condição do enunciado só fica coerente com o caso acima, em que as diagonais são iguais a 8,8,8 e 5,8,11 em alguma ordem, e a soma é 24.\n\nAlternativa C.
Pegadinha: A alternativa com 15 não aparece, mas o caso a=5 dá soma ímpar; é preciso testar a paridade para descartá-lo.
Por que as outras alternativas estão erradas
ASoma 18 exigiria x=5, repetindo número e contrariando o enunciado.
BSoma 20 daria 3a=20 ou x=7 sem diagonal de três números iguais, não é consistente.
DSoma 28 não é múltiplo de 3 e daria x=15 com as duas diagonais diferentes, sem ser a única possibilidade.
ESoma 30 daria a=10, que não é um dos números do tabuleiro.
