Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2007

Question

O Professor Márcio aplicou uma prova de Matemática valendo 10 pontos. Para ter uma idéia do desempenho da turma, ele organizou a tabela abaixo.

NOTAS	ALUNOS
Menores ou iguais a 4	6
Maiores do que 4 e menores ou iguais a 7	18
Maiores do que 7	16

Qual é a única alternativa que mostra um possível valor para a média aritmética das notas da turma?

A
3,9
B
4,1
C
4,5
D
4,9
E
7,9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Nível 2) da OBMEP 2007

Nível 2 · Matemática: Média aritmética e ponderada

O Professor Márcio aplicou uma prova de Matemática valendo 10 pontos. Para ter uma idéia do desempenho da turma, ele organizou a tabela abaixo.

NOTAS	ALUNOS
Menores ou iguais a 4	6
Maiores do que 4 e menores ou iguais a 7	18
Maiores do que 7	16

Qual é a única alternativa que mostra um possível valor para a média aritmética das notas da turma?

A
3,9
B
4,1
C
4,5
D
4,9
E
7,9

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

De acordo com a tabela, a turma tem 6 + 18 + 16 = 40 alunos. Logo, a média aritmética das notas da turma é

M = \frac{\text{soma de todas as notas dos alunos da turma}}{40}\ .

Se todos os alunos tivessem tirado uma nota menor que a nota possível, isto é, que os alunos do primeiro grupo tivessem tirado 0, os do segundo 4 e os do terceiro 7, a média obtida seria menor que M. Logo

\frac{6 \times 0 + 18 \times 4 + 16 \times 7}{40} = 4{,}6 < M

Por outro lado, M é menor ou igual que a média no caso em que todos os alunos tivessem tirado a maior nota possível, isto é, que os alunos do primeiro grupo tivessem tirado 4, os do segundo 7 e os do terceiro 10. Logo

M \le \frac{6 \times 4 + 18 \times 7 + 16 \times 10}{40} = 7{,}75

Logo 4{,}6 < M \le 7{,}75 ; a única alternativa que satisfaz essa restrição é 4{,}9.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

A turma tem 6+18+16=40 alunos. Como não sabemos as notas exatas, vamos achar o menor e o maior valor possíveis para a soma das notas e, depois, para a média.

Menor soma possível: os 6 alunos do primeiro grupo podem ter 0; os 18 do segundo grupo têm nota maior que 4, então a soma deles é maior que 18\cdot 4=72; os 16 do terceiro grupo têm nota maior que 7, então a soma deles é maior que 16\cdot 7=112. Soma total > 0+72+112=184.
Maior soma possível: os 6 do primeiro grupo têm no máximo 4, ou seja, 6\cdot 4=24; os 18 do segundo grupo têm no máximo 7, ou seja, 18\cdot 7=126; os 16 do terceiro grupo têm no máximo 10, ou seja, 16\cdot 10=160. Soma total \le 24+126+160=310.
Limites da média:

\frac{184}{40}<\text{média}\le\frac{310}{40}

4{,}6<\text{média}\le 7{,}75

Agora é só verificar as alternativas: 3,9, 4,1, 4,5 e 4,9. Só 4,9 está entre 4,6 e 7,75. O valor 7,9 passa do máximo de 7,75.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

A3,9 está abaixo do mínimo possível, que é maior que 4,6.
B4,1 é menor que 4,6, o limite inferior da média.
C4,5 também fica abaixo de 4,6, pois os grupos 2 e 3 já garantem soma maior que 184.
E7,9 ultrapassa o máximo possível de 7,75, obtido com notas 4, 7 e 10 nos grupos.

Assuntos: Média aritmética e ponderada, Tabelas e distribuição de frequências.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 18 no caderno Nível 2 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗