Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Seja o retângulo ABCD com A no canto inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. P se move sobre a diagonal AC, de A até C.

O polígono BCDP é o retângulo menos os triângulos ABP e APD, que ficam abaixo e à esquerda da diagonal. Mas, como P está sobre a diagonal AC, vale uma simetria útil: a região sombreada é formada pelos triângulos PBC e PCD. Vamos calcular as áreas.

Seja o retângulo de base b e altura h. A diagonal AC divide o retângulo em dois triângulos de área \frac{bh}{2} cada.

1. O triângulo BCD tem área \frac{bh}{2} e contém o ponto P apenas quando P está em AC? Não: AC é lado desse triângulo ACD ou ABC, e BD é a outra diagonal. Então calculemos direto.
2. Área de BCDP = área de ABCD - área de ABP - área de ADP.
3. Com P=(t b, t h), 0\le t\le1, a altura de P em relação a AB é th, logo [ABP]=\frac{b\cdot th}{2}.
4. A distância de P a AD é tb, logo [ADP]=\frac{h\cdot tb}{2}.
5. Área = bh-\frac{bht}{2}-\frac{bht}{2}=bh(1-t).

Como x=AP=t\cdot AC, temos t=\frac{x}{AC}, e a área é bh\left(1-\frac{x}{AC}\right): função afim decrescente, que vale bh em x=0 e se anula em x=AC.

O gráfico é uma reta decrescente que parte de um valor positivo e chega ao eixo x.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Amostra área crescente, mas a área diminui conforme P se afasta de A.
• Ca área é função do 1º grau de x, não uma curva.
• Da área constante só valeria se P percorresse uma paralela a um lado, não a diagonal.
• Ea variação é linear com uma única inclinação, sem mudança de taxa.

Assuntos: Função quadrática, Áreas e perímetros de polígonos.

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