Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

Paula escreveu os números 1, 2, 3, ... em uma folha de papel quadriculado de acordo com o padrão indicado abaixo. Os números que aparecem ao longo da flecha formam a seqüência 1, 3, 13, 31, .... Qual é o 30º termo dessa seqüência?

Grade quadriculada com números inteiros dispostos em espiral no sentido anti-horário a partir do número 1 central. Uma flecha diagonal cinza parte do número 1 apontando para cima e para a direita, passando pelas casas sombreadas contendo os números 1, 3, 13, 31 e continuando através de reticências.

A
3301
B
3303
C
3307
D
3309
E
3313

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Paula escreveu os números 1, 2, 3, ... em uma folha de papel quadriculado de acordo com o padrão indicado abaixo. Os números que aparecem ao longo da flecha formam a seqüência 1, 3, 13, 31, .... Qual é o 30º termo dessa seqüência?

Grade quadriculada com números inteiros dispostos em espiral no sentido anti-horário a partir do número 1 central. Uma flecha diagonal cinza parte do número 1 apontando para cima e para a direita, passando pelas casas sombreadas contendo os números 1, 3, 13, 31 e continuando através de reticências.

A
3301
B
3303
C
3307
D
3309
E
3313

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A flecha que aponta para baixo na tabela passa pelos quadrados dos números ímpares: 1^2 = 1, 3^2 = 9, 5^2 = 25 e assim por diante.

[Figura: Tabela quadriculada contendo números distribuídos em espiral no sentido horário a partir do centro com o número 1. Uma seta diagonal apontando para o canto inferior direito atravessa os quadrados ímpares 1, 9, 25 e 49. Outra seta diagonal apontando para o canto superior direito atravessa as casas sombreadas com os números 1, 3, 13 e 31.]

Vamos chamar de a_n o n-ésimo termo de nossa seqüência; por exemplo, a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 13 e a_4 = 31. Observando a tabela, vemos que

1^2 \xrightarrow{\text{1 casa para a direita}} 1^2 + 1 = 2 \xrightarrow{\text{1 casa para cima}} 1^2 + 1 + 1 = 3 = a_2

3^2 \xrightarrow{\text{1 casa para a direita}} 3^2 + 1 = 10 \xrightarrow{\text{3 casas para cima}} 3^2 + 1 + 3 = 13 = a_3

5^2 \xrightarrow{\text{1 casa para a direita}} 5^2 + 1 = 26 \xrightarrow{\text{5 casas para cima}} 5^2 + 1 + 5 = 31 = a_4

e assim por diante. Vemos então que a lei de formação da seqüência, a partir de a_2, é

a_2 = [1^\circ\text{ímpar}]^2 + 1 + 1^\circ\text{ímpar}

a_3 = [2^\circ\text{ímpar}]^2 + 1 + 2^\circ\text{ímpar}

a_4 = [3^\circ\text{ímpar}]^2 + 1 + 3^\circ\text{ímpar}

e, em geral,

a_n = [(n-1)^\circ\text{ímpar}]^2 + 1 + (n-1)^\circ\text{ímpar}

Logo a_{30} = [29^\circ\text{ímpar}]^2 + 1 + 29^\circ\text{ímpar}, e como o 29^\circ número ímpar é 57 segue que a_{30} = 57^2 + 1 + 57 = 3307.

Mais geralmente, o (n-1)^\circ número ímpar é 2(n-1)-1 = 2n-3 e segue que a_n = (2n-3)^2 + 1 + (2n-3) = 4n^2 - 10n + 7.

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Resolução comentada

Veja a diferença entre termos consecutivos da sequência: 3-1=2, 13-3=10, 31-13=18. As diferenças formam uma PA de razão 8: 2, 10, 18, ...

O termo a_n é o primeiro termo mais a soma das n-1 primeiras diferenças.

A diferença de ordem k vale d_k = 2 + 8(k-1) = 8k-6.
Para chegar ao 30º termo, somamos k=1 até 29:

S=\frac{(d_1+d_{29})\cdot 29}{2}
d_{29}=8\cdot 29-6=226, então d_1+d_{29}=2+226=228.
S=\frac{228\cdot 29}{2}=114\cdot 29=3306.
a_{30}=1+3306=3307.

Conferindo com uma fórmula: a_n = 1+\sum_{k=1}^{n-1}(8k-6)=1+4n(n-1)-6(n-1). Para n=4: 1+48-18=31 ✓. Para n=30: 1+4\cdot 30\cdot 29-6\cdot 29=1+3480-174=3307 ✓.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a soma correta das diferenças; erro de conta na PA.
BErra a soma das diferenças por uma pequena imprecisão, obtendo 3303.
DPassa de 3307 por erro no número de diferenças ou na razão da PA.
EProvavelmente soma diferenças demais, usando 30 termos de diferença em vez de 29.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗