Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2007

Question

As cartas de um jogo têm a forma indicada na figura, com números naturais de 1 a 9 escritos um no triângulo e outro no retângulo. As cartas são todas diferentes. Uma carta ganha de outra quando o número de seu triângulo multiplicado pelo do retângulo da outra é maior que o número do triângulo da outra multiplicado pelo do seu retângulo. Qual é a carta que ganha de todas as outras?

Formato de uma carta do jogo, composta por um triângulo sobre um retângulo

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 1) da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Razão e proporção

As cartas de um jogo têm a forma indicada na figura, com números naturais de 1 a 9 escritos um no triângulo e outro no retângulo. As cartas são todas diferentes. Uma carta ganha de outra quando o número de seu triângulo multiplicado pelo do retângulo da outra é maior que o número do triângulo da outra multiplicado pelo do seu retângulo. Qual é a carta que ganha de todas as outras?

Formato de uma carta do jogo, composta por um triângulo sobre um retângulo

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos imaginar que Alice e Bia estão jogando esse jogo e que elas têm as cartas indicadas na figura. Nesse caso, o número de Alice é a \times d e o de Bia é b \times c. Alice gostaria muito que a fosse 9, pois nesse caso seu número seria o maior possível; e ela também gostaria que b fosse 1, pois então o número de Bia seria o menor possível.

[Figura: Duas cartas no formato de casa (triângulo sobre quadrado); a primeira identificada abaixo como "Alice", contendo a letra "a" no triângulo e a letra "b" no quadrado; a segunda identificada como "Bia", contendo a letra "c" no triângulo e a letra "d" no quadrado.]

Esse raciocínio sugere que a carta com 9 no triângulo e 1 no quadrado ganha de todas as outras. Para mostrar isso, vamos comparar essa carta com outra com x no triângulo e y no quadrado; afirmamos que ela ganha, ou seja, que 9y é maior que x. De fato, 9y não pode ser menor que x pois x é no máximo 9; e 9x não pode ser igual a x pois nesse caso a única possibilidade é x = 9 e y = 1, contrariando o fato de que não há cartas repetidas no jogo.

[Figura: Duas cartas no formato de casa (triângulo sobre quadrado); a primeira contém o número 9 no triângulo e o número 1 no quadrado; a segunda contém a letra "x" no triângulo e a letra "y" no quadrado.]

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Resolução comentada

Chame de (t, r) a carta com t no triângulo e r no retângulo. A carta (t_1, r_1) ganha de (t_2, r_2) quando t_1 \cdot r_2 > t_2 \cdot r_1.

Dividindo os dois lados por r_1 \cdot r_2 (positivos), a condição fica \dfrac{t_1}{r_1} > \dfrac{t_2}{r_2}. Ou seja, vence a carta com a maior razão triângulo/retângulo.

Calculando a razão de cada alternativa:

A: 5/5 = 1
B: 9/9 = 1
C: 7/4 = 1{,}75
D: 1/9 \approx 0{,}11
E: 9/1 = 9

A carta E tem a maior razão, 9. Esse é o maior valor possível, pois o triângulo vale no máximo 9 e o retângulo no mínimo 1. Assim, nenhuma outra carta tem razão maior ou igual à da carta E, e ela ganha de todas.

Conferindo contra a C: 9 \cdot 4 = 36 > 7 \cdot 1 = 7. Ela ganha.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa B engana quem acha que números grandes vencem; o que importa é a razão entre triângulo e retângulo, e 9/9=1 é baixa.

Por que as outras alternativas estão erradas

ARazão 5/5=1, pequena; ganha de D, mas perde para C e E.
BOs números são grandes, mas a razão é 9/9=1, que perde para C e E.
CRazão 7/4=1{,}75 é menor que 9, então perde para a carta E.
DTem a menor razão (1/9), então perde de todas as outras.

Assunto: Razão e proporção.

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Questão 17 no caderno Nível 1 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗