Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2007

Question

Qual o sinal que Clotilde deve colocar no lugar de “?” para que a igualdade fique correta?

Menina observando uma lousa com a expressão matemática 3/7 ? 6/5 = 5/14

A
\div
B
x
C
+
D
=
E
-

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Nível 1) da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Qual o sinal que Clotilde deve colocar no lugar de “?” para que a igualdade fique correta?

Menina observando uma lousa com a expressão matemática 3/7 ? 6/5 = 5/14

A
\div
B
x
C
+
D
=
E
-

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

O método direto aqui é simplesmente substituir todos os sinais das alternativas e decidir se a afirmativa obtida é verdadeira ou falsa. Vamos fazer isso:

a) substituindo ? por \div obtemos \frac{3}{7} \div \frac{6}{5} = \frac{3}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{14}, afirmativa verdadeira

b) substituindo ? por \times obtemos \frac{3}{7} \times \frac{6}{5} = \frac{5}{14}, afirmativa falsa

c) substituindo ? por + obtemos \frac{3}{7} + \frac{6}{5} = \frac{5}{14}, afirmativa falsa

d) substituindo ? por = obtemos \frac{3}{7} = \frac{6}{5} = \frac{5}{14}, afirmativa falsa

e) substituindo ? por - obtemos \frac{3}{7} - \frac{6}{5} = \frac{5}{14}, afirmativa falsa pois ao subtrair um número maior de um número menor não é possível obter um número maior que zero.

Podemos também resolver essa questão quase sem fazer contas:


Como \frac{6}{5} é maior do que 1, \frac{3}{7} é menor do que 1 e \frac{5}{14} maior do que zero, o sinal - está excluído.	\underbrace{\frac{3}{7}}_{\text{menor que 1}} \text{ ? } \underbrace{\frac{6}{5}}_{\text{maior que 1}} = \underbrace{\frac{5}{14}}_{\text{maior que 0}}
Como \frac{6}{5} é maior do que 1 e \frac{3}{7} é menor do que 1, o sinal = está excluído.	\underbrace{\frac{3}{7}}_{\text{menor que 1}} \text{ ? } \underbrace{\frac{6}{5}}_{\text{maior que 1}} = \frac{5}{14}
Como \frac{3}{7} é maior que zero, \frac{6}{5} é maior do que 1 e \frac{5}{14} é menor do que 1, o sinal + está excluído.	\underbrace{\frac{3}{7}}_{\text{maior que 0}} \text{ ? } \underbrace{\frac{6}{5}}_{\text{maior que 1}} = \underbrace{\frac{5}{14}}_{\text{menor que 1}}
Como \frac{3}{7} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{35}, \frac{18}{35} é maior que \frac{1}{2} e \frac{5}{14} é menor que \frac{1}{2}, o sinal \times está excluído.	\frac{5}{14} < \frac{1}{2} < \frac{3}{7} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{35}

Sobra então o sinal \div, que é correto como vimos acima.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Precisamos testar qual operação entre \frac{3}{7} e \frac{6}{5} dá \frac{5}{14}.

Como o resultado é menor que \frac{3}{7}, já suspeitamos de divisão, mas vamos conferir.

Divisão: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso.

\frac{3}{7}\div\frac{6}{5}=\frac{3}{7}\cdot\frac{5}{6}=\frac{15}{42}=\frac{5}{14}
Simplificamos \frac{15}{42} dividindo numerador e denominador por 3, e obtemos \frac{5}{14}, que é exatamente o resultado da lousa.

Conferindo as outras: a multiplicação dá \frac{3}{7}\cdot\frac{6}{5}=\frac{18}{35}; a soma dá \frac{15+42}{35}=\frac{57}{35}, maior que 1; a subtração dá \frac{15-42}{35}=-\frac{27}{35}, negativa. O sinal de igual não faz sentido, pois \frac{3}{7}\neq\frac{6}{5}.

Portanto, o sinal é a divisão.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BA multiplicação resulta em \frac{18}{35}, não em \frac{5}{14}.
CA soma resulta em \frac{57}{35}, maior que 1.
DAs frações \frac{3}{7} e \frac{6}{5} são diferentes, então o sinal de igual não cabe.
EA subtração resulta em -\frac{27}{35}, um número negativo.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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Questão 15 no caderno Nível 1 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗