Questão 14 (Nível 2) da OBMEP 2007

Resolução comentada

Sejam a e b os lados do cartão. Há duas maneiras de enfileirar os 8 cartões em uma única fila, juntando lados iguais.

Na primeira, colocamos os cartões lado a lado pelo lado a. O retângulo fica com dimensões 8a e b, e o perímetro é 2(8a+b).

Na segunda, juntamos pelo lado b. O retângulo fica com a e 8b, e o perímetro é 2(a+8b).

Então:

1. 2(8a+b)=376 \Rightarrow 8a+b=188
2. 2(a+8b)=236 \Rightarrow a+8b=118

Somando as duas equações: 9a+9b=306, logo a+b=34.

Subtraindo a segunda da primeira: 7a-7b=70, logo a-b=10.

Assim, a=22 e b=12.

Conferindo: 8\cdot 22+12=188 e 22+8\cdot 12=118. Os dois valores batem.

A área de cada cartão é:

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a=22 e b=12; não resulta de nenhuma etapa correta do sistema.
• BCorresponde à metade da área correta; provavelmente vem de um erro de conta ao resolver o sistema.
• CNão corresponde ao produto dos lados que satisfazem os dois perímetros.
• ENão corresponde ao produto dos lados que satisfazem os dois perímetros.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Equações do 1º grau e problemas.

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