Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2007

Question

A figura foi feita com quatro quadrados de 10\text{ cm} de lado. Os vértices A, B e C são também centros dos quadrados correspondentes. Qual é a área da região sombreada?

Quatro quadrados sobrepostos formando uma cadeia, onde um vértice do segundo quadrado coincide com o centro A do primeiro, um vértice do terceiro coincide com o centro B do segundo, e um vértice do quarto coincide com o centro C do terceiro. Toda a união dos quatro quadrados está sombreada.

A
100\text{ cm}^2
B
150\text{ cm}^2
C
225\text{ cm}^2
D
275\text{ cm}^2
E
325\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2007

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A figura foi feita com quatro quadrados de 10\text{ cm} de lado. Os vértices A, B e C são também centros dos quadrados correspondentes. Qual é a área da região sombreada?

Quatro quadrados sobrepostos formando uma cadeia, onde um vértice do segundo quadrado coincide com o centro A do primeiro, um vértice do terceiro coincide com o centro B do segundo, e um vértice do quarto coincide com o centro C do terceiro. Toda a união dos quatro quadrados está sombreada.

A
100\text{ cm}^2
B
150\text{ cm}^2
C
225\text{ cm}^2
D
275\text{ cm}^2
E
325\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para resolver essa questão, precisamos saber qual é a área coberta de cada um dos três quadrados de centros A, B e C. Para isso, vamos considerar a figura ao lado, onde representamos os quadrados de centros A e B. A área coberta no quadrado de centro A é o polígono sombreado AQRT.

[Figura: Dois quadrados sobrepostos, um com centro em A e outro girado com centro em B. Segmentos tracejados a partir de A descem perpendicularmente aos lados do quadrado de centro A nos pontos P e S, com vértice R do quadrado em comum, formando o quadrado APRS. A região de interseção AQRT está sombreada, com os pontos T no lado inferior e Q no lado direito.]

Pelo ponto A traçamos as perpendiculares AP e AS aos lados do quadrado. Como A é o centro do quadrado, é imediato que APRS é um quadrado; sua área é \frac{1}{4} da área do quadrado maior, ou seja, é \frac{1}{4}\times 100 = 25\text{ cm}^2. Além disso os ângulos P\hat{A}Q e S\hat{A}T, marcados na figura, são iguais; de fato, temos

P\hat{A}Q = P\hat{A}S - Q\hat{A}S = 90^\circ - Q\hat{A}S = Q\hat{A}T - Q\hat{A}S = S\hat{A}T\ .

Segue que os triângulos APQ e AST são congruentes, pois são triângulos retângulos com um lado e um ângulo comuns. Logo

\text{área}(AQRT) = \text{área}(AST) + \text{área}(AQRS) = \text{área}(APQ) + \text{área}(AQRS)

= \text{área}(APRS) = 25\text{ cm}^2

Do mesmo modo, as áreas cobertas nos quadrados de centros B e C são iguais a 25\text{ cm}^2. Logo a área da figura é 3\times 75 + 100 = 325\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

Quando um vértice de um quadrado fica sobre o centro de outro quadrado igual, a região comum aos dois é sempre a quarta parte do quadrado, qualquer que seja a inclinação. Isso acontece porque, ao girar o quadrado em torno do centro, os dois triângulos formados são congruentes, então a região comum equivale à de um quadrado alinhado, que é \frac{1}{4} da área.

Cada quadrado tem área:

10 \cdot 10 = 100\ \text{cm}^2

A sobreposição entre dois quadrados consecutivos vale:

\frac{100}{4} = 25\ \text{cm}^2

A figura tem 3 sobreposições (primeiro com segundo, segundo com terceiro, terceiro com quarto), e elas não se cruzam entre si.

A área da união é a soma das áreas dos quadrados menos as sobreposições:

Soma das áreas: 4 \cdot 100 = 400\ \text{cm}^2
Sobreposições: 3 \cdot 25 = 75\ \text{cm}^2
Área sombreada: 400 - 75 = 325\ \text{cm}^2

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AConsidera apenas a área de um quadrado.
BValor sem relação com o cálculo; não corresponde a 400 menos as sobreposições.
CSubtrai 175 (7 sobreposições de 25) em vez de 3 sobreposições.
DSubtrai 125 (5 sobreposições de 25), contando sobreposições a mais.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 13 no caderno Nível 3 da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗