Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2006

Resolução comentada

Cada triângulo equilátero tem um vértice no centro do círculo, então o ângulo dele no centro mede 60^\circ. Os quatro triângulos juntos ocupam, em torno do centro, 4\times 60^\circ = 240^\circ.

Como uma volta completa tem 360^\circ, sobram para os setores cinzas:

1. 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ.

Os setores sombreados somam 120^\circ de abertura. Todos têm o mesmo raio, o do círculo, então a área deles é proporcional ao ângulo. A fração do círculo que está sombreada é:

2. \dfrac{120^\circ}{360^\circ} = \dfrac{1}{3}.

A área sombreada é então:

3. \dfrac{1}{3}\times 36 = 12\ \text{cm}^2.

Observe que o tamanho dos triângulos não importa. Só o ângulo de 60^\circ no centro conta, pois a área de um setor depende apenas do ângulo e do raio.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem calcula a fração ocupada pelos triângulos (240^\circ, ou \frac{2}{3}) em vez da região sombreada.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa \frac{1}{4} do círculo, como se os setores cinzas fossem 90° no total.
• CNão corresponde a nenhuma fração correta do círculo; resulta de erro no cálculo do ângulo restante.
• DNão corresponde a uma fração correta do círculo; resulta de erro no ângulo restante.
• ECorresponde a \frac{2}{3}, a parte coberta pelos triângulos (240°), e não a sombreada.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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