Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2006

Resolução comentada

Como 100 = 2^2\cdot 5^2, os algarismos (de 1 a 9, pois nenhum pode ser 0) precisam fornecer dois fatores 5 e dois fatores 2. O único algarismo com fator 5 é o próprio 5, então há dois algarismos 5. Os fatores 2 restantes (produto 4) vêm de algarismos que multiplicam 4: ou um único 4, ou dois 2, e o 1 pode completar as casas.

Lembre que o número tem no máximo 4 algarismos. Casos:

1. Algarismos \{4,5,5\} (3 algarismos): permutações = \dfrac{3!}{2!} = 3 números (455, 545, 554).
2. Algarismos \{1,4,5,5\} (4 algarismos): \dfrac{4!}{2!} = 12 números.
3. Algarismos \{2,2,5,5\} (4 algarismos): \dfrac{4!}{2!\,2!} = 6 números.

O caso \{4,5,5\} com 1 já está contado no caso 2. Com \{2,2,5,5\} não sobra espaço para o 1. Não há mais combinações possíveis (por exemplo, 2,2,5,5 e 1 exigiria 5 algarismos).

Total: 3 + 12 + 6 = 21.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta muito poucos casos, esquecendo as permutações dos algarismos.
• BEsquece algum caso, por exemplo omite os 3 números de três algarismos (455, 545, 554).
• DConta a mais, tratando algarismos repetidos como distintos em alguma permutação.
• ESuperestima o total, contando permutações repetidas ou casos com 5 algarismos.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Divisibilidade, MMC e MDC.

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