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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Cinco peças de quatro quadradinhos cada, identificadas de I a V: I é uma linha de 1 por 4 quadradinhos; II é uma peça em forma de L; III é uma peça em forma de T; IV é uma peça em forma de Z; V é um bloco quadrado de 2 por 2 quadradinhos.

Paulo usou quatro peças diferentes dentre as cinco acima para montar a figura indicada. Em qual das peças está o quadradinho marcado com X?

Figura composta por 16 quadradinhos dispostos em quatro linhas: a primeira linha possui 3 quadradinhos alinhados à esquerda; a segunda e a terceira linhas possuem 4 quadradinhos; a quarta linha possui 5 quadradinhos, com a letra X marcada no terceiro quadradinho a partir da esquerda.

  1. A
    I
  2. B
    II
  3. C
    III
  4. D
    IV
  5. E
    V
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Resolução comentada

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Numere as linhas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. O quadradinho da linha 4, coluna 5, só encosta no vizinho da esquerda, então a peça que o cobre fica deitada na linha 4. Testando as possibilidades, só uma funciona.

  1. Colocamos a peça I (reta) na linha 4, nas colunas 2 a 5. Isso cobre o X, que está na coluna 3.
  2. Sobra o quadradinho (4,1). Ele é coberto pela peça IV (Z) na vertical: (4,1), (3,1), (3,2) e (2,2). Essa posição é uma rotação do Z, que vale.
  3. Sobra (2,1), e ele só encosta em (1,1). A peça II (L) cobre (2,1), (1,1), (1,2) e (1,3).
  4. Restam (2,3), (2,4), (3,3) e (3,4), que formam um quadrado 2×2. É a peça V.

As quatro peças usadas são I, II, IV e V, todas diferentes, e cobrem os 16 quadradinhos. A peça III (T) não é usada.

Os outros jeitos de cobrir o canto da linha 4 (com L, T ou Z) travam: sempre sobra algum quadradinho isolado ou é preciso repetir ou espelhar uma peça. Logo o X está na peça I.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BO L ocupa a parte de cima à esquerda, (2,1), (1,1), (1,2) e (1,3), e não cobre o X.
  • CA peça T não entra na montagem; qualquer tentativa de usá-la deixa quadradinhos isolados.
  • DO Z fica na vertical, à esquerda, e não alcança a coluna 3 da linha 4.
  • EO quadrado 2×2 fica no meio da figura, nas linhas 2 e 3, colunas 3 e 4, longe do X.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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Esta questão também caiu em

Ver como caiu na prova Questão 19 no caderno Nível 2 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗