Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2006

Question

No retângulo ao lado, A, B e C são pontos médios de seus lados e O é o ponto de encontro de suas diagonais. A área da região sombreada é

Retângulo com pontos médios A no lado esquerdo, B no lado superior e C no lado direito, e ponto central O. Há duas regiões sombreadas: uma formada pelos triângulos superiores delimitados pelos segmentos AB e BC até os cantos superiores, e outra formada pelo triângulo inferior com vértice em O e base no lado inferior do retângulo.

A
\frac{1}{4} da área do retângulo.
B
\frac{1}{3} da área do retângulo.
C
\frac{1}{2} da área do retângulo.
D
\frac{3}{5} da área do retângulo.
E
\frac{2}{3} da área do retângulo.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2006

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

No retângulo ao lado, A, B e C são pontos médios de seus lados e O é o ponto de encontro de suas diagonais. A área da região sombreada é

Retângulo com pontos médios A no lado esquerdo, B no lado superior e C no lado direito, e ponto central O. Há duas regiões sombreadas: uma formada pelos triângulos superiores delimitados pelos segmentos AB e BC até os cantos superiores, e outra formada pelo triângulo inferior com vértice em O e base no lado inferior do retângulo.

A
\frac{1}{4} da área do retângulo.
B
\frac{1}{3} da área do retângulo.
C
\frac{1}{2} da área do retângulo.
D
\frac{3}{5} da área do retângulo.
E
\frac{2}{3} da área do retângulo.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Como A, B e C são pontos médios, os quatro triângulos rotulados com \text{I} na figura ao lado são congruentes, bem como os dois indicados por \text{II}. Logo

[Figura: Um retângulo dividido horizontalmente ao meio por um segmento tracejado ligando os pontos médios A e C dos lados laterais. O ponto B é o ponto médio do lado superior e o ponto O está sobre o segmento AC. Na parte superior, os dois triângulos retângulos nos cantos superiores são sombreados e rotulados com I, enquanto o triângulo delimitado por A, B e C é branco e rotulado com II. Na parte inferior, os dois triângulos nos cantos são brancos e rotulados com I, enquanto o triângulo com vértice em O e base no lado inferior do retângulo é sombreado e rotulado com II.]

\text{área branca} = 2\text{ triângulos } \text{I} + 1\text{ triângulo } \text{II}

\text{área sombreada} = 2\text{ triângulos } \text{I} + 1\text{ triângulo } \text{II}

o que mostra que a área sombreada é igual à área em branco. Logo cada uma delas corresponde à metade da área do retângulo.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Seja o retângulo de base b e altura h, com área bh. Como A e C são pontos médios dos lados esquerdo e direito, eles estão à altura h/2. B é o ponto médio do lado superior, e O é o centro.

A região sombreada de cima fica entre o lado superior e os segmentos AB e BC. Ela é formada por dois triângulos retângulos:

Triângulo da esquerda: catetos \frac{b}{2} (horizontal, do canto até B) e \frac{h}{2} (vertical, do canto até A). Área: \frac{1}{2}\cdot\frac{b}{2}\cdot\frac{h}{2}=\frac{bh}{8}.
Triângulo da direita, igual ao da esquerda: \frac{bh}{8}.

Total em cima: \frac{bh}{4}.

A região sombreada de baixo é um triângulo com base no lado inferior, medindo b, e vértice em O, à altura \frac{h}{2}. Área: \frac{1}{2}\cdot b\cdot\frac{h}{2}=\frac{bh}{4}.

Soma das áreas sombreadas:

\frac{bh}{4}+\frac{bh}{4}=\frac{bh}{2}

Isso é metade da área do retângulo.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aconsidera só uma das regiões sombreadas (a de cima ou a de baixo), que vale 1/4 cada.
Bnão corresponde a nenhum cálculo correto das áreas dos triângulos.
Dsuperestima a área; a soma correta de 1/4 + 1/4 não dá 3/5.
Esuperestima a área; resultado sem base nos triângulos de área bh/8 e bh/4.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 1 no caderno Nível 3 da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2006 · Nível 3. Prova oficial ↗