Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Question

O comprimento dos lados dos triângulos equiláteros ABC e PQR da figura é 4\sqrt{3} e as alturas desses triângulos relativas aos lados AB e QR estão contidas em uma mesma reta r. A intersecção das regiões interiores aos dois triângulos varia com o deslocamento do ponto P sobre a reta r, dependendo da distância x entre os vértices P e C. Seja A(x) a área dessa intersecção.

Dois diagramas ilustrando a sobreposição dos triângulos equiláteros opostos ABC e PQR sobre a reta r: à esquerda, para uma distância menor entre C e P, a região de intersecção sombreada é um losango; à direita, com P mais abaixo, a intersecção sombreada forma uma região hexagonal.

a) Calcule A(3) e A(9).

b) Exiba uma expressão de A(x) no intervalo 0 \le x \le 6 e uma expressão de A(x) no intervalo 6 \le x \le 12.

c) Qual é o valor máximo de A(x) no intervalo 0 \le x \le 12?

d) Esboce o gráfico da função A no intervalo 0 \le x \le 12.

$Sistema de eixos cartesianos sobre malha quadriculada, com eixo horizontal x graduado de 1 a 12 e eixo vertical A(x) graduado de \sqrt{3} a 9\sqrt{3}.$

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

O comprimento dos lados dos triângulos equiláteros ABC e PQR da figura é 4\sqrt{3} e as alturas desses triângulos relativas aos lados AB e QR estão contidas em uma mesma reta r. A intersecção das regiões interiores aos dois triângulos varia com o deslocamento do ponto P sobre a reta r, dependendo da distância x entre os vértices P e C. Seja A(x) a área dessa intersecção.

Dois diagramas ilustrando a sobreposição dos triângulos equiláteros opostos ABC e PQR sobre a reta r: à esquerda, para uma distância menor entre C e P, a região de intersecção sombreada é um losango; à direita, com P mais abaixo, a intersecção sombreada forma uma região hexagonal.

a) Calcule A(3) e A(9).

b) Exiba uma expressão de A(x) no intervalo 0 \le x \le 6 e uma expressão de A(x) no intervalo 6 \le x \le 12.

c) Qual é o valor máximo de A(x) no intervalo 0 \le x \le 12?

d) Esboce o gráfico da função A no intervalo 0 \le x \le 12.

$Sistema de eixos cartesianos sobre malha quadriculada, com eixo horizontal x graduado de 1 a 12 e eixo vertical A(x) graduado de \sqrt{3} a 9\sqrt{3}.$

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Para esse problema é muito útil expressar a área de um triângulo equilátero como função do comprimento de seu lado a é dada por a^2\sqrt{3}/4, e em função da altura h é h^2\sqrt{3}/3. Note que pelo teorema de Pitágoras, a = 2h\sqrt{3}/3.

a) Para x = 3 a superposição dos dois triângulos consiste em dois triângulos equiláteros de altura h = 3/2. Assim, a área é dada por A(3) = 2(3/2)^2\sqrt{3}/3 = 3\sqrt{3}/2.

Para x = 9, a superposição dos dois triângulos é uma figura hexagonal. Podemos calcular a área desse hexágono subtraindo da área de um dos triângulos originais as áreas de 3 triângulos equiláteros brancos, como indicado na figura:

[Figura: Triângulo equilátero de altura total 6 com um hexágono sombreado no interior, formado pela subtração de três triângulos equiláteros brancos: um superior de altura 3 e dois inferiores nos cantos da base.]

O triângulo original tem área 12\sqrt{3}, pois tem altura 6.

O triângulo branco superior tem área 3\sqrt{3}, pois tem altura 3.

Cada um dos triângulos brancos inferiores tem área 3\sqrt{3}/4, pois sua altura é 3/2.

Logo, a área do hexágono é A(9) = 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 2.3\sqrt{3}/4 = 15\sqrt{3}/2.

b) Para 0 \le x \le 6 a região comum é formada por dois triângulos equiláteros de altura x/2. Assim, temos A(x) = 2(x/2)^2\sqrt{3}/3 = x^2\sqrt{3}/6.

Se a distância entre C e P for maior que 6 a região comum passa a ser hexagonal. Uma maneira simples de calcular essa área é subtrair a área do triângulo equilátero superior e dos dois triângulos equiláteros laterais da área total.

Por partes:

Área total do triângulo ABC: (4\sqrt{3})^2\sqrt{3}/4 = 12\sqrt{3};
Para a área do triângulo equilátero superior é conveniente calcular a sua altura. Como a distância entre C e P é x e a altura do triângulo equilátero PQR é 6, a altura do triângulo equilátero superior é x - 6 e seu lado é 2(x - 6)\sqrt{3}/3. Sua área é, portanto (x - 6)^2\sqrt{3}/3;
Como o lado do triângulo equilátero superior é 2(x - 6)\sqrt{3}/3, o lado de cada um dos triângulos equiláteros laterais é (4\sqrt{3} - 2(x - 6)\sqrt{3}/3)/2 = (12 - x)\sqrt{3}/3. Assim, a área de cada um desses triângulos equiláteros das laterais é (12 - x)^2\sqrt{3}/12.

A função que fornece a área da região comum para 6 \le x \le 12 é, portanto, A(x) = 12\sqrt{3} - (x - 6)^2\sqrt{3}/3 - (2(12 - x)^2\sqrt{3}/12) = (12 - (x - 6)^2/3 - (12 - x)^2/6)\sqrt{3} = (-x^2 + 16x - 48)\sqrt{3}/2.

O valor máximo ocorre em x = 8 e é igual a 8\sqrt{3}.

d) O gráfico da função tem o seguinte aspecto:

[Figura: Gráfico cartesiano em malha quadriculada da função da área A(x) em relação a x. O eixo horizontal vai de 0 a 12 com divisões inteiras; o eixo vertical vai de 0 a 9√3 com divisões de √3 a 9√3. O gráfico parte da origem (0, 0), cresce quadraticamente até o ponto (6, 6√3) onde há um ponto destacado, continua como uma parábola côncava para baixo atingindo o vértice no ponto (8, 8√3) e desce até tocar o eixo x em (12, 0).]

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Resolução comentada

Montagem. A altura de cada triângulo é \frac{4\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=6. Coloque C na origem da reta r, com r vertical. Então AB está na altura -6. O ponto P fica na altura -x e o lado QR na altura 6-x.

A intersecção é a região comum às duas "cunhas" de 60^\circ (a que sai de C para baixo e a que sai de P para cima), cortada pelas retas y=-6 e y=6-x.

a) Para x\le 6, a intersecção é um losango de diagonal vertical CP=x e ângulos de 60^\circ em C e P.

Na altura do meio, \frac{x}{2} abaixo de C, a meia-largura é \frac{x}{2}\tg30^\circ=\frac{x}{2\sqrt3}. A diagonal horizontal vale então \frac{x}{\sqrt3} e a área é

A(x)=\frac12\cdot x\cdot\frac{x}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{6}x^2.

Logo A(3)=\frac{9\sqrt3}{6}=\frac{3\sqrt3}{2}.

Para x\ge 6, o losango "completo" (de diagonal x) tem área \frac{\sqrt3}{6}x^2, mas ele passa de AB e de QR. Sobram dois triângulos equiláteros a retirar: um com vértice em C e outro com vértice em P, ambos de altura x-6. Cada um tem lado \frac{2(x-6)}{\sqrt3} e área \frac{(x-6)^2}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}(x-6)^2. Assim, para x=9:

A(9)=\frac{81\sqrt3}{6}-2\cdot\frac{\sqrt3}{3}\cdot 9=\frac{27\sqrt3}{2}-6\sqrt3=\frac{15\sqrt3}{2}.

A(3) = \frac{3\sqrt3}{2} e A(9) = \frac{15\sqrt3}{2}.

b) O resultado do item anterior vale em geral:

Em 0\le x\le6: A(x)=\frac{\sqrt3}{6}x^2.
Em 6\le x\le12: A(x)=\frac{\sqrt3}{6}x^2-\frac{2\sqrt3}{3}(x-6)^2. Desenvolvendo, A(x)=\frac{\sqrt3}{6}(-3x^2+48x-144)=-\frac{\sqrt3}{2}(x-4)(x-12).

Confira: em x=6 as duas expressões dão 6\sqrt3, e em x=12 a segunda dá 0.

A(x)=\frac{\sqrt3}{6}x^2 para 0\le x\le6; A(x)=-\frac{\sqrt3}{2}(x-4)(x-12) para 6\le x\le12.

c) Em [0,6], A é crescente e chega a 6\sqrt3. Em [6,12], A é uma parábola de concavidade para baixo, com raízes 4 e 12, então o vértice está em x=8, que pertence ao intervalo:

A(8)=-\frac{\sqrt3}{2}(4)(-4)=8\sqrt3.

Como 8\sqrt3>6\sqrt3, o máximo é atingido em x=8.

Valor máximo: 8\sqrt3.

d) O gráfico é formado por dois arcos de parábola que se encontram suavemente em x=6 (a inclinação é 2\sqrt3 nos dois lados).

Tabela de pontos:

x	0	3	6	8	9	10	11	12
A(x)	0	1{,}5\sqrt3	6\sqrt3	8\sqrt3	7{,}5\sqrt3	6\sqrt3	3{,}5\sqrt3	0

De (0,0) até (6,6\sqrt3), desenhe a parábola de concavidade para cima. De (6,6\sqrt3) passando pelo ponto mais alto (8,8\sqrt3) até (12,0), desenhe a parábola de concavidade para baixo.

Esboço: curva crescente e convexa até x=6, depois côncava, com máximo 8\sqrt3 em x=8 e voltando a 0 em x=12.

Assuntos: Função quadrática, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗