Correção ITA 2027 · FísicaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Josefa tem várias peças iguais à mostrada ao lado. Ela quer cobrir diferentes tabuleiros com essas peças, sem sobreposição.

a) Josefa quer cobrir o tabuleiro da Figura 1 e já colocou uma peça. Termine de cobrir o tabuleiro colocando mais três peças.

Tabuleiro de 4 linhas por 5 colunas com a legenda "Figura 1". Uma peça de 5 quadradinhos (pentaminó em formato de L gordo/P) está posicionada no canto superior direito com preenchimento cinza e contorno preto espesso, ocupando 3 quadradinhos na primeira linha e 2 na segunda linha.

b) Cubra o tabuleiro da Figura 2 com quatro peças de Josefa.

Tabuleiro com a legenda "Figura 2", composto por 4 linhas: as duas primeiras com 4 quadradinhos e as duas últimas com 6 quadradinhos, alinhadas à esquerda, totalizando 20 quadradinhos.

c) Explique por que Josefa nunca vai conseguir cobrir o tabuleiro da Figura 3 com cinco peças.

Tabuleiro quadriculado de 5 linhas por 5 colunas (total de 25 quadradinhos) com a legenda "Figura 3".

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Resolução comentada

a) Use (linha, coluna) para os quadradinhos. A peça é um quadrado 2\times 2 com um quadradinho extra colado, alinhado com um dos lados do quadrado. Ela pode ser girada ou virada. A peça já colocada ocupa (1,3), (1,4), (1,5), (2,3) e (2,4).

O quadradinho (2,5) só tem vizinho livre embaixo, em (3,5). Logo ele é o "extra" de uma peça, e o quadrado 2\times2 dessa peça é (3,4), (3,5), (4,4), (4,5).

Sobra a região da esquerda, com 10 quadradinhos. Cobrimos o canto superior esquerdo com (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1). O que resta é (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3), que é um quadrado 2\times2 (colunas 2 e 3, linhas 3 e 4) mais o extra (4,1).

As três novas peças são:

  • {(2,5), (3,4), (3,5), (4,4), (4,5)};
  • {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1)};
  • {(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}.

Cobertura feita com as três peças acima.

b) Aqui as linhas 1 e 2 têm as colunas 1 a 4, e as linhas 3 e 4 têm as colunas 1 a 6. Usamos quatro peças:

  1. {(3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (4,4)}: quadrado nas colunas 5 e 6 mais o extra (4,4);
  2. {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}: quadrado nas colunas 3 e 4 das linhas 1 e 2 mais o extra (3,4);
  3. {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1)};
  4. {(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}.

As quatro peças juntas têm 20 quadradinhos, e cada um deles aparece uma única vez. Portanto o tabuleiro fica coberto sem sobreposição.

Cobertura feita com as quatro peças acima.

c) Marque os quadradinhos em que a linha e a coluna são ambas pares: (2,2), (2,4), (4,2) e (4,4). São exatamente 4 quadradinhos marcados.

Toda peça contém um quadrado 2\times2. Em qualquer quadrado 2\times2 do tabuleiro há exatamente uma linha par e uma coluna par, então ele contém exatamente um quadradinho marcado. Assim, cada peça cobre pelo menos um quadradinho marcado. Como as peças não se sobrepõem, cinco peças cobririam pelo menos 5 quadradinhos marcados diferentes. Mas só existem 4. Isso é uma contradição.

Logo é impossível cobrir o tabuleiro da Figura 3 com cinco peças, porque cada peça cobre pelo menos um dos 4 quadradinhos marcados e seriam necessários pelo menos 5.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2ª fase 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗