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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Ana e Pedro cortam pedaços de papel que estão em uma cesta.

  • Sempre que Ana pega um pedaço, corta em cinco pedaços e devolve todos eles para a cesta.
  • Sempre que Pedro pega um pedaço, corta em três pedaços e devolve todos eles para a cesta.

Inicialmente há três pedaços de papel na cesta.

Desenho ilustrando Ana à esquerda imaginando cortar um pedaço de papel em cinco partes, Pedro à direita imaginando cortar um pedaço de papel em três partes, e uma cesta no centro contendo três pedaços de papel.

a) Quantos pedaços de papel ficarão na cesta depois de Ana e Pedro pegarem um pedaço cada um e devolverem os pedaços cortados para a cesta?

b) Descreva uma maneira de Ana e Pedro pegarem, cortarem e devolverem todos os pedaços de papel da cesta para que, a partir dos três pedaços iniciais, a cesta fique com 11 pedaços.

c) Explique por que, a partir dos três pedaços iniciais, a cesta nunca ficará com 2024 pedaços após Ana e Pedro devolverem todos os pedaços cortados para a cesta.

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a) Quando Ana corta um pedaço em 5, ele deixa de existir e entram 5 no lugar. A cesta ganha 5-1=4 pedaços. Quando Pedro corta um pedaço em 3, a cesta ganha 3-1=2 pedaços.

Como cada um corta um pedaço, a cesta passa de 3 para:

3+4+2=9

Ficam 9 pedaços na cesta.

b) Para chegar a 11 a partir de 3, a cesta precisa ganhar 11-3=8 pedaços. Cada corte de Ana dá +4 e cada corte de Pedro dá +2. Uma maneira em que os dois cortam:

  1. Ana corta um pedaço: 3+4=7.
  2. Pedro corta um pedaço: 7+2=9.
  3. Pedro corta outro pedaço: 9+2=11.

O total ganho é 4+2+2=8, e a cesta fica com 11 pedaços. (Outra maneira: Ana corta duas vezes, 3\to7\to11.)

c) Se Ana faz a cortes e Pedro faz p cortes, o número de pedaços na cesta é:

3+4a+2p = 3+2(2a+p)

O termo 2(2a+p) é sempre par. Somando 3, o resultado é sempre ímpar, quaisquer que sejam a e p. Como 2024 é par, a cesta nunca terá 2024 pedaços.

O número de pedaços é sempre ímpar e 2024 é par.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗