Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Question

Quatro octógonos regulares de lados medindo 1 cm foram desenhados em um cartão quadrado, como na figura. Cada octógono tem um lado na borda do cartão e octógonos adjacentes têm um lado em comum.

Cartão quadrado com fundo cinza contendo quatro octógonos regulares amarelos, com um lado na borda externa e compartilhando lados adjacentes entre si, deixando visível uma região cinza nos cantos e um quadrado cinza no centro.

a) Qual é a área do cartão?

b) Qual é a área da região cinza?

c) Qual é a área da parte pintada em vermelho sobre os octógonos?

O mesmo cartão quadrado com quatro octógonos regulares, no qual partes dos octógonos superior, esquerdo e direito estão pintadas em vermelho.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Quatro octógonos regulares de lados medindo 1 cm foram desenhados em um cartão quadrado, como na figura. Cada octógono tem um lado na borda do cartão e octógonos adjacentes têm um lado em comum.

Cartão quadrado com fundo cinza contendo quatro octógonos regulares amarelos, com um lado na borda externa e compartilhando lados adjacentes entre si, deixando visível uma região cinza nos cantos e um quadrado cinza no centro.

a) Qual é a área do cartão?

b) Qual é a área da região cinza?

c) Qual é a área da parte pintada em vermelho sobre os octógonos?

O mesmo cartão quadrado com quatro octógonos regulares, no qual partes dos octógonos superior, esquerdo e direito estão pintadas em vermelho.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para se calcular a área do cartão vamos calcular quanto mede seu lado. A medida desse lado é o comprimento da linha mais grossa da figura a seguir, formada por duas diagonais do octógono e um lado do octógono.

[Figura: Cartão quadrado com quatro octógonos amarelos e a silhueta de um quadrado central cinza, destacando com linha mais grossa duas diagonais de octógonos e um lado do octógono formando o lado do cartão]

Em um octógono regular, a medida de cada um dos ângulos internos é 135^\circ. Consequentemente, os ângulos internos do trapézio isósceles AHCB (abaixo, figura à esquerda), medem 135^\circ e 45^\circ. Os dois trapézios isósceles da figura têm em comum um triângulo retângulo isósceles. A hipotenusa desse triângulo é o lado AH do octógono (que mede 1\text{ cm}) e seus catetos medem, pelo Teorema de Pitágoras, \frac{\sqrt{2}}{2}\text{cm}. As diagonais do octógono (abaixo, figura à direita) medem, portanto, ) cm. Elas decompõem o octógono em quatro triângulos retângulos isósceles congruentes, quatro retângulos congruentes e um quadrado central.

[Figura: À esquerda, trapézio isósceles AHCB formado no octógono com indicação dos ângulos de 45° e 135°; à direita, octógono decomposto por diagonais em quatro triângulos retângulos isósceles, quatro retângulos e um quadrado central]

b) A área da região cinza em cada canto do cartão pode ser dividida em dois triângulos retângulos isósceles, conforme a figura a seguir. São quatro triângulos maiores, cujos catetos medem ) cm (medem o mesmo que uma das diagonais do octógono vistas acima), e quatro triângulos menores, com catetos medindo 1\text{cm}. Cada par desses triângulos de mesmo tamanho corresponde a um quadrado. Juntando a área do quadrado central à soma das áreas dos triângulos, a área da região cinza é

2 \times (1 + \sqrt{2})^2 + 2 \times 1 + 1 \times 1 = (9 + 4\sqrt{2})\text{ cm}^2

[Figura: Cartão com octógonos amarelos e a região cinza subdividida por linhas tracejadas em triângulos retângulos nos quatro cantos]

c) A área da parte vermelha pintada sobre os octógonos é igual a soma das áreas da parte vermelha pintada sobre cada octógono.

[Figura: Cartão com os quatro octógonos e regiões pintadas em vermelho]

No octógono superior a área pintada em vermelho é formada por um retângulo de lados 1 e 1 + \sqrt{2} e por dois triângulos retângulos, cada um deles de catetos \frac{\sqrt{2}}{2} e 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}; a área do retângulo é igual a 1 + \sqrt{2} e a área de cada triângulo retângulo é igual \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \times \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{4}; logo a área vermelha pintada dentro do octógono superior é igual a (1 + \sqrt{2}) + 2 \times \left(\frac{1 + \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}. Nos octógonos da esquerda e da direita área pintada em vermelho é formada por um triângulo retângulo de catetos 1 e 1 + \sqrt{2} e um trapézio de bases 1 + \sqrt{2}, 1 e altura \frac{\sqrt{2}}{2}; a área do triângulo retângulo é igual a \frac{1 + \sqrt{2}}{2} e a área do trapézio é igual a \frac{(2 + \sqrt{2}) \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}; logo a área vermelha pintada dentro de cada octógonos da esquerda e da direita é igual a 1 + \sqrt{2}. No octógono inferior a área pintada em vermelho é formada por um trapézio de bases 1 + \sqrt{2}, 1 e altura \frac{\sqrt{2}}{2}; a área desse trapézio é igual a \frac{(2 + \sqrt{2}) \times \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}. Somando todas as áreas concluímos que a área total da região pintada em vermelho sobre os octógonos é igual a \left(\frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) + 2 \times (1 + \sqrt{2}) + \frac{1 + \sqrt{2}}{2} = (4 + 4\sqrt{2})\text{ cm}^2.

Outra solução. Podemos calcular a área da região em vermelho subtraindo da área do trapézio determinado pelo seu contorno a soma das áreas do quadrado central com a área do quadrado de lado \frac{\sqrt{2}}{2} formado pelos dois triângulos pequenos. As bases do trapézio medem 1 e 3 + \sqrt{2} e sua altura 2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}; logo, sua área é igual a \left(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(2 + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) = 4 + 4\sqrt{2} + \frac{3}{2}. Por outro lado, a soma das áreas dos dois quadrados é igual a 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}. Portanto, a área da região em vermelho é igual a (4 + 4\sqrt{2})\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a) Um octógono regular de lado 1 tem largura (distância entre lados opostos) igual a 1+2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=1+\sqrt2, pois cada lado inclinado projeta \frac{\sqrt2}{2} na horizontal.

Na figura, o quadrado cinza central tem lado 1, que é um lado de cada octógono vizinho. Na horizontal, o cartão é formado por: o octógono da esquerda (largura 1+\sqrt2), o quadrado central (lado 1) e o octógono da direita (largura 1+\sqrt2). Logo o lado do cartão mede

L=2(1+\sqrt2)+1=3+2\sqrt2\ \text{cm}.

A=(3+2\sqrt2)^2=9+12\sqrt2+8=17+12\sqrt2\ \text{cm}^2.

Área do cartão: (17+12\sqrt2)\ \text{cm}^2.

b) A área de um octógono regular de lado 1 é a do quadrado de lado 1+\sqrt2 menos quatro triângulos retângulos isósceles de cateto \frac{\sqrt2}{2}:

(1+\sqrt2)^2-4\cdot\frac12\cdot\frac12=3+2\sqrt2-1=2+2\sqrt2.

Os quatro octógonos ocupam 4(2+2\sqrt2)=8+8\sqrt2. A região cinza é o que sobra:

17+12\sqrt2-(8+8\sqrt2)=9+4\sqrt2.

Área cinza: (9+4\sqrt2)\ \text{cm}^2.

c) Calculamos o vermelho em cada octógono. Seja a=\frac{\sqrt2}{2}.

Octógono de cima: a parte vermelha é um trapézio de bases 1 e 1+\sqrt2 e altura 1+a, mais um retângulo 1\times a (a parte sobre o quadrado central). O trapézio tem área \frac{(2+\sqrt2)}{2}\cdot\frac{2+\sqrt2}{2}=\frac{3+2\sqrt2}{2} e o retângulo tem \frac{\sqrt2}{2}. Total: \frac{3+3\sqrt2}{2}.
Octógono de baixo: é um trapézio de bases 1 e 1+\sqrt2 e altura a, com área \frac{2+\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1+\sqrt2}{2}.
Octógonos da esquerda e da direita (iguais, por simetria): a parte vermelha é um pentágono. Com origem no canto da caixa do octógono e w=1+2a, os vértices são (1+a,0), (a,w), (1+a,w), (w,1+a), (w,a). Pela fórmula de Gauss, a área é 1+2a=1+\sqrt2 cada um.

Somando:

\frac{3+3\sqrt2}{2}+\frac{1+\sqrt2}{2}+2(1+\sqrt2)=\frac{8+8\sqrt2}{2}=4+4\sqrt2.

Isso é exatamente metade da área total dos octógonos.

Área vermelha: (4+4\sqrt2)\ \text{cm}^2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2024

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