PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2024
A ordenação linha-coluna crescente dos números inteiros de 1 a 12 em uma tabela com três linhas e quatro colunas é feita primeiro nas linhas e, depois, nas colunas. A figura mostra um exemplo dessa ordenação.
| 9 | 3 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|
| 6 | 4 | 1 | 5 |
| 11 | 10 | 2 | 7 |
| 3 | 8 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 7 | 10 | 11 |
| 1 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|
| 2 | 7 | 9 | 11 |
| 3 | 8 | 10 | 12 |
a) Faça a ordenação linha-coluna crescente dos números na tabela abaixo.
| 12 | 10 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| 6 | 11 | 7 | 4 |
| 9 | 3 | 8 | 1 |
b) A ordenação linha-coluna crescente foi feita numa tabela e o número 5 ficou posicionado como abaixo. Complete o tabuleiro mostrando uma maneira de como os outros números podem ter ficado na tabela.
c) A ordenação linha-coluna crescente foi feita numa tabela, e um número x ficou posicionado como abaixo. Explique por que x é o maior número na região cinza da tabela.
d) Pinte na tabela abaixo as casas em que o 5 pode ficar após uma ordenação linha-coluna crescente.
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Primeiro ordenamos cada linha em ordem crescente:
| 2 | 5 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 7 | 11 |
| 1 | 3 | 8 | 9 |
Depois ordenamos cada coluna em ordem crescente: coluna 1 (2,4,1)\to(1,2,4); coluna 2 (5,6,3)\to(3,5,6); coluna 3 (10,7,8)\to(7,8,10); coluna 4 (12,11,9)\to(9,11,12). O resultado é:
| 1 | 3 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 8 | 11 |
| 4 | 6 | 10 | 12 |
Tabela final: linhas 1\,3\,7\,9; 2\,5\,8\,11; 4\,6\,10\,12.
b) Antes de tudo, um fato que vale para todos os itens: depois da ordenação, as linhas continuam crescentes. Isso acontece porque, na tabela com linhas já ordenadas, cada número da coluna j é menor que o número vizinho da coluna j+1 na mesma linha. Então o k-ésimo menor da coluna j é menor que o k-ésimo menor da coluna j+1. Logo, a tabela final tem linhas e colunas crescentes. Reciprocamente, qualquer tabela assim não muda ao ser ordenada, então serve de resposta.
O 5 na 1ª linha e 4ª coluna precisa ser maior que os três números à sua esquerda e menor que os dois abaixo dele. Um exemplo:
| 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 |
As linhas e as colunas são crescentes, então o exemplo é válido.
Uma possibilidade: 1\,2\,3\,5; 4\,6\,7\,8; 9\,10\,11\,12.
c) Na tabela final, linhas e colunas são crescentes. Chame de (i,j) a casa da linha i e coluna j. O número x está em (2,3) e:
- é maior que (2,2) e (2,1), que estão à esquerda dele na linha 2;
- é maior que (1,3), que está acima dele na coluna 3;
- (1,3) é maior que (1,2), que é maior que (1,1), na linha 1.
Portanto x é maior que os outros cinco números da região cinza, ou seja, é o maior deles.
Como x é maior que (1,1), (1,2), (1,3), (2,1) e (2,2), ele é o maior da região cinza.
d) Se o 5 está em (r,c), todos os números do retângulo acima e à esquerda dele são menores, e todos os do retângulo abaixo e à direita são maiores. Há 4 números menores que 5 (1 a 4) e 7 maiores (6 a 12). Então:
- rc-1\le 4, ou seja, rc\le 5;
- (4-r)(5-c)-1\le 7, ou seja, (4-r)(5-c)\le 8.
Testando as casas:
- (1,1) e (1,2) falham na segunda condição, pois dão 12 e 9.
- (1,3), (1,4), (2,1), (2,2) e (3,1) passam.
- As demais falham em rc\le5.
Cada casa que passou realmente ocorre, com estes exemplos (linhas separadas por ;):
- (1,3): 1\,2\,5\,6; 3\,4\,7\,8; 9\,10\,11\,12.
- (1,4): o exemplo do item b.
- (2,1): 1\,2\,3\,4; 5\,6\,7\,8; 9\,10\,11\,12.
- (2,2): 1\,2\,4\,6; 3\,5\,7\,8; 9\,10\,11\,12.
- (3,1): 1\,3\,6\,9; 2\,4\,7\,10; 5\,8\,11\,12.
Pintar as casas (1,3), (1,4), (2,1), (2,2) e (3,1).
Assunto: Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 2. Prova oficial ↗