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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Ana e Pedro cortam pedaços de papel que estão em uma cesta.

  • Sempre que Ana pega um pedaço, corta em cinco pedaços e devolve todos eles para a cesta.
  • Sempre que Pedro pega um pedaço, corta em três pedaços e devolve todos eles para a cesta.

Inicialmente há três pedaços de papel na cesta.

Ilustração mostrando Ana à esquerda pensando em cortar um pedaço de papel em cinco pedaços com uma tesoura, ao centro uma cesta contendo três pedaços de papel, e à direita Pedro pensando em cortar um pedaço de papel em três pedaços com uma tesoura.

a) Quantos pedaços de papel ficarão na cesta depois de Ana e Pedro pegarem um pedaço cada um e devolverem os pedaços cortados para a cesta?

b) Descreva uma maneira de Ana e Pedro pegarem, cortarem e devolverem todos os pedaços de papel da cesta para que, a partir dos três pedaços iniciais, a cesta fique com 11 pedaços.

c) Explique por que, a partir dos três pedaços iniciais, a cesta nunca ficará com 2024 pedaços após Ana e Pedro devolverem todos os pedaços cortados para a cesta.

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a) Quando Ana corta um pedaço em 5, a cesta perde 1 pedaço e recebe 5, então ganha 5-1=4 pedaços. Quando Pedro corta um pedaço em 3, perde 1 e recebe 3, então ganha 3-1=2 pedaços.

Começando com 3 pedaços, depois de um corte de cada um:

3+4+2=9

Ficam 9 pedaços.

b) Precisamos passar de 3 para 11 pedaços, ou seja, ganhar 11-3=8 pedaços. Cada corte de Ana ganha 4 e cada corte de Pedro ganha 2. Há várias formas de somar 8, por exemplo 4+2+2=8.

  1. Ana corta um pedaço: 3+4=7 pedaços.
  2. Pedro corta um pedaço: 7+2=9 pedaços.
  3. Pedro corta outro pedaço: 9+2=11 pedaços.

Outra maneira seria Ana cortar dois pedaços: 3\to7\to11. Qualquer uma serve.

Uma maneira possível: Ana corta 1 pedaço e Pedro corta 2 pedaços, chegando a 11 pedaços.

c) Cada corte de Ana acrescenta 4 pedaços e cada corte de Pedro acrescenta 2. Os dois números são pares, e somar um número par não muda a paridade do total.

Como a cesta começa com 3 pedaços, que é ímpar, o número de pedaços será sempre ímpar, depois de qualquer quantidade de cortes. Já 2024 é par, então a cesta nunca terá 2024 pedaços.

O total de pedaços é sempre ímpar (3 mais números pares), e 2024 é par, então nunca será atingido.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Ver como caiu na prova Questão 1 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 2. Prova oficial ↗