Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2024

Resolução comentada

a) Dividindo 51 por 3: 51 = 17\times 3 + 0. O resto é 0, então o 17 vai para a primeira casa da segunda linha, logo abaixo do 51.

Dividindo 17 por 3: 17 = 5\times 3 + 2. O resto é 2, então o 5 é deslocado duas casas para a direita. Ele fica na terceira casa da terceira linha.

Resumindo: 51 \to 17 (1ª casa da 2ª linha) \to 5 (3ª casa da 3ª linha).

Resposta: 17 na 1ª casa da segunda linha e 5 na 3ª casa da terceira linha.

b) A posição final na terceira linha é 1 + r_1 + r_2, em que r_1 e r_2 são os restos das duas divisões. Para cair na quarta casa, precisamos de r_1 + r_2 = 3. Como os restos são 0, 1 ou 2, só servem (r_1,r_2)=(1,2) ou (2,1).

O último quociente é 4, então o número da segunda linha é a = 3\times 4 + r_2.

• r_2 = 2 e r_1 = 1: a = 14 e n = 3\times 14 + 1 = 43.
• r_2 = 1 e r_1 = 2: a = 13 e n = 3\times 13 + 2 = 41.

Conferindo: 41 = 13\times 3+2 e 13 = 4\times 3 + 1. O 13 fica na 3ª casa e o 4 é deslocado uma casa, indo para a 4ª. Para 43 = 14\times 3+1 e 14 = 4\times 3+2, o 14 fica na 2ª casa e o 4 é deslocado duas casas, indo também para a 4ª.

Resposta: 41 ou 43.

c) Seja q o quociente final. Então a = 3q + r_2 e n = 3a + r_1 = 9q + 3r_2 + r_1.

• (r_1,r_2)=(1,2): n = 9q + 7. Esses números deixam resto 7 na divisão por 9.
• (r_1,r_2)=(2,1): n = 9q + 5. Esses números deixam resto 5 na divisão por 9.

Qualquer q natural serve, pois o processo termina na terceira linha.

Entre 10 e 99:

• Resto 7: 16, 25, \dots, 97. São \frac{97-16}{9}+1 = 10 números. O 7 fica fora porque é menor que 10.
• Resto 5: 14, 23, \dots, 95. São \frac{95-14}{9}+1 = 10 números.

Total: 10 + 10 = 20.

Resposta: 20 números.

Assunto: Sistemas de numeração.

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