Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2024

Question

Uma tabela 4 \times 4, preenchida com os números 0 e 1, é equilibrada quando, somando os números em cada linha, obtemos todos os inteiros de 1 a 4, o mesmo ocorrendo com as somas dos números de cada coluna. Por exemplo, a tabela ao lado é equilibrada.

Tabela 4×4 preenchida com números 0 e 1. As linhas têm somas indicadas à direita por setas: 4, 3, 2 e 1; as colunas têm somas indicadas abaixo por setas: 2, 4, 3 e 1.

a) Preencha as tabelas abaixo de modo que elas sejam equilibradas, com as linhas e colunas tendo as somas indicadas.

Tabela 4×4 vazia com setas à direita indicando somas das linhas 4, 3, 2, 1 e setas abaixo indicando somas das colunas 1, 2, 3, 4.

b) Quantas são as tabelas equilibradas com a soma de cada linha indicada abaixo?

Tabela 4×4 vazia com setas à direita indicando somas das linhas 4, 3, 2, 1 e setas abaixo apontando para pontos de interrogação.

c) Quantas são as tabelas equilibradas?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2024

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Uma tabela 4 \times 4, preenchida com os números 0 e 1, é equilibrada quando, somando os números em cada linha, obtemos todos os inteiros de 1 a 4, o mesmo ocorrendo com as somas dos números de cada coluna. Por exemplo, a tabela ao lado é equilibrada.

Tabela 4×4 preenchida com números 0 e 1. As linhas têm somas indicadas à direita por setas: 4, 3, 2 e 1; as colunas têm somas indicadas abaixo por setas: 2, 4, 3 e 1.

a) Preencha as tabelas abaixo de modo que elas sejam equilibradas, com as linhas e colunas tendo as somas indicadas.

Tabela 4×4 vazia com setas à direita indicando somas das linhas 4, 3, 2, 1 e setas abaixo indicando somas das colunas 1, 2, 3, 4.

b) Quantas são as tabelas equilibradas com a soma de cada linha indicada abaixo?

Tabela 4×4 vazia com setas à direita indicando somas das linhas 4, 3, 2, 1 e setas abaixo apontando para pontos de interrogação.

c) Quantas são as tabelas equilibradas?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Item a)

1	1	1	1	\rightarrow 4
0	1	1	1	\rightarrow 3
0	0	1	1	\rightarrow 2
0	0	0	1	\rightarrow 1
\downarrow	\downarrow	\downarrow	\downarrow
1	2	3	4

1	0	1	0	\rightarrow 2
1	1	1	1	\rightarrow 4
0	0	1	0	\rightarrow 1
1	0	1	1	\rightarrow 3
\downarrow	\downarrow	\downarrow	\downarrow
3	1	4	2

Item b) O preenchimento com zeros e uns em uma tabela equilibrada é determinado, de maneira única, pela posição dos possíveis resultados das somas das linhas e das colunas. De fato, a posição do 4 nas linhas e nas colunas determina o preenchimento de sete casas do tabuleiro com uns; a posição do 1 nas linhas e nas colunas determina o preenchimento de mais cinco casas com zeros; a posição do 3 nas linhas e nas colunas determina o preenchimento de mais três casas com uns; a última casa deve ser preenchida com zero. Como esses resultados já estão determinados para as somas das linhas (4,3,2,1), devemos contar as possibilidades de eles ocorrerem para as somas das colunas (?,?,?,?). Temos 4 possibilidades de resultados para a soma da primeira coluna, 3 possibilidades de resultados para a soma da segunda coluna, 2 possibilidades de resultados para a soma da terceira coluna e 1 possibilidade de resultado para a soma da quarta coluna. No total, pelo princípio multiplicativo da contagem, temos 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 possibilidades de resultados para a soma das colunas. Portanto temos 24 tabelas equilibradas diferentes em que a soma da primeira linha é 4, a da segunda é 3, a da terceira é 2 e a da quarta é 1.

Item c) De acordo com o item b), há 24 \times 24 = 576 tabelas equilibradas diferentes.

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Resolução comentada

a) Comece pela linha de soma 4 (tudo 1) e pela coluna de soma 4 (tudo 1).

Tabela 1 (linhas 4, 3, 2, 1; colunas 1, 2, 3, 4):

A linha 1 é 1\ 1\ 1\ 1. A coluna 4 tem soma 4, logo é toda de 1.
A coluna 1 tem soma 1, e esse 1 já está na linha 1. O resto da coluna 1 é 0.
A linha 4 (soma 1) tem apenas o 1 da coluna 4: 0\ 0\ 0\ 1.
A linha 2 (soma 3) tem 0 na coluna 1: 0\ 1\ 1\ 1.
A coluna 2 (soma 2) já tem os 1 das linhas 1 e 2, então a linha 3 tem 0 nela. A linha 3 (soma 2) fica 0\ 0\ 1\ 1.

Conferindo a coluna 3: 1+1+1+0=3 ✓.

\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}

Tabela 2 (linhas 2, 4, 1, 3; colunas 3, 1, 4, 2):

A linha 2 é toda de 1. A coluna 3 (soma 4) também é toda de 1.
A coluna 2 tem soma 1, e esse 1 está na linha 2. O resto da coluna 2 é 0.
A linha 3 (soma 1) só tem o 1 da coluna 3: 0\ 0\ 1\ 0.
A linha 4 (soma 3) tem 0 na coluna 2 e 1 na coluna 3, então os outros dois 1 estão nas colunas 1 e 4: 1\ 0\ 1\ 1.
A coluna 1 (soma 3) já tem os 1 das linhas 2 e 4. Como a linha 3 tem 0 aí, a linha 1 tem 1 na coluna 1. A linha 1 (soma 2) fica 1\ 0\ 1\ 0.

Conferindo as colunas: 3,1,4,2 ✓.

\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\1&1&1&1\\0&0&1&0\\1&0&1&1\end{array}

b) A linha 1 é toda de 1, então cada coluna começa com 1. Seja a_j a soma da coluna j nas linhas 2, 3 e 4. As somas das colunas são 1+a_j e precisam ser 1,2,3,4. Logo os a_j são 0,1,2,3, em alguma ordem.

Coluna com a=3: tem 1 nas linhas 2, 3 e 4. A linha 4 só tem um 1, então ele fica nessa coluna.
Coluna com a=0: tem 0 nas linhas 2, 3 e 4. A linha 2 tem exatamente um 0, e ele fica nessa coluna. Portanto a linha 2 tem 1 nas outras três colunas.
Coluna com a=1: só o 1 da linha 2. Assim ela tem 0 nas linhas 3 e 4.
Coluna com a=2: tem o 1 da linha 2 e mais um. A linha 4 já usou seu único 1, então o outro está na linha 3.

A linha 3 fica com 1 nas colunas a=3 e a=2, o que dá soma 2 ✓. Então a tabela fica totalmente determinada ao escolher qual coluna é a=0, qual é a=1, qual é a=2 e qual é a=3. São 4!=24 maneiras, todas dando tabelas diferentes.

24 tabelas.

c) As somas das linhas são 1,2,3,4 em alguma ordem, o que dá 4!=24 ordens possíveis. Para cada ordem, o número de tabelas é o mesmo que no item (b): basta permutar as linhas de uma tabela do item (b). Essa troca não altera as somas das colunas.

Total: 24\times 24=576.

576 tabelas.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2ª fase 2024 · Nível 1. Prova oficial ↗